Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2007/reports/Positselski_2009.ps Дата изменения: Tue Dec 29 19:17:10 2009 Дата индексирования: Sun Feb 13 13:15:52 2011 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ОТЧЕТ ПОЛУЧАТЕЛЯ СТИПЕНДИИ П. ДЕЛИНЯ ЗА 2009 ГОД
Л. Е. ПОСИЦЕЛЬСКИЙ
1. Основные полученные результаты
Важнейшие результаты, над которыми я работал в этом году, были в пер-
воначальном виде получены в 1999 и 2000{2002 годах. В этом году они
были усилены, дополнены и опубликованы в моем препринте arXiv:0905.2621
[math.CT]. Ниже приводятся формулировки этих результатов в их окончатель-
ном виде, в котором они вошли в указанный препринт.
Под коалгеброй всюду ниже понимается коассоциативная коалгебра с коеди-
ницей над полем k.
. В теории DG-комодулей над DG-коалгеброй, рассматриваемых с точно-
стью до квазиизоморфизма, существует достаточное количество инъек-
тивных резольвент, а в теории DG-контрамодулей { проективных резоль-
вент. Формально, производная категория DG-комодулей эквивалентна
гомотопической категории инъективных DG-комодулей, а производная
категория DG-контрамодулей { гомотопической категории проективных
DG-контрамодулей.
Кроме того, любой проективный DG-контрамодуль над DG-коалгеб-
рой C с точностью до гомотопической эквивалентности можно получить
из DG-контрамодуля Hom k (C; k) с помощью сдвигов, конусов и бесконеч-
ных прямых сумм. (Неизвестно, верно ли аналогичное утверждение для
DG-комодулей.)
. Для любой CDG-коалгебры (DG-коалгебры с кривизной) C = (C; d; h),
cледующие четыре триангулированные категории эквивалентны между
собой:
(i) копроизводная категория левых CDG-комодулей над C;
(ii) гомотопическая категория левых CDG-комодулей над C, инъектив-
ных как градуированные C-комодули;
(iii) гомотопическая категория левых CDG-контрамодулей над C, про-
ективных как градуированные C-контрамодули;
(iv) контрапроизводная категория левых CDG-контрамодулей над C.
Кроме того, эти триангулированные категории компактно порождены;
компактными образующими категории (ii) являются тотально конечно-
мерные CDG-комодули. Триангулированная подкатегория компактных
объектов в (ii) эквивалентна абсолютной производной категории то-
тально конечномерных CDG-комодулей.
1

. Для CDG-кольца B = (B; d; h), копроизводная категория левых CDG-
модулей над B эквивалентна гомотопической категории CDG-модулей,
инъективных как градуированные B-модули, по крайней мере, когда гра-
дуированное кольцо B удовлетворяет следующему условию:
(#) счетные прямые суммы инъективных левых градуированных B-
модулей имеют конечную инъективную размерность (как градуи-
рованные B-модули).
Это включает случаи, когда градуированное кольцо B нетерово слева
или имеет конечную левую гомологическую размерность, а также случай,
когда градуированное кольцо B горенштейново слева (см. ниже).
Для CDG-кольца B = (B; d; h), контрапроизводная категория ле-
вых CDG-модулей над B эквивалентна гомотопической категории CDG-
модулей, проективных как градуированные B-модули, по крайней мере,
когда градуированное кольцо B удовлетворяет следующему условию:
(##) счетные прямые произведения проективных левых градуированных
B-модулей имеют конечную проективную размерность (как градуи-
рованные B-модули).
Это включает случай, когда градуированное кольцо B когерентно справа
и всякий плоский левый B-модуль имеет конечную проективную размер-
ность. (Известно, что последнему условию удовлетворяет любое кольцо,
мощность которого не превышает # n для конечного натурального n.) В
частности, сюда входят артиновы справа градуированные кольца. Кроме
того, условию (##) удовлетворяют градуированные кольца конечной ле-
вой гомологической размерности, и, более общо, горенштейновы слева.
. Будем называть градуированное кольцо B горенштейновым слева, если
классы градуированных левых B-модулей конечной проективной размер-
ности и конечной инъективной размерности совпадают. Для любого
CDG-кольца B = (B; d; h), такого что градуированное кольцо B горен-
штейново слева, следующие пять триангулированных категорий эквива-
лентны:
(i) копроизводная категория левых CDG-модулей над B;
(ii) гомотопическая категория левых CDG-модулей над B, инъективных
как градуированные B-модули;
(iii) абсолютная производная категория CDG-модулей над B, имеющих
конечную инъективную/проективную размерность как градуиро-
ванные B-модули;
(iv) гомотопическая категория левых CDG-модулей над B, проективных
как градуированные B-модули;
(v) контрапроизводная категория левых CDG-модулей над B.
Кроме того, для DG-кольца B, подлежащее градуированное кольцо ко-
торого горенштейново слева, можно построить теорию тейтовских кого-
мологий. Тейтовские когомологии { это функтор двух аргументов, опре-
деленный на производной категории DG-модулей, но факторизующийся
2

через триангулированную категорию, \измеряющую разницу" между ко-
производной = контрапроизводной и производной категориями.
. Для любого CDG-кольца (B; d; h), такого что кольцо B нетерово слева,
абсолютная производная категория левых CDG-модулей над B, конечно-
порожденных как градуированные B-модули, является полной подкате-
горией в копроизводной категории левых CDG-модулей над B. Эта пол-
ная триангулированная подкатегория состоит из компактных объектов
(но неизвестно, порождает ли она всю копроизводную категорию как
триангулированную категорию с бесконечными прямыми суммами).
. Для кофибрантной DG-алгебры над кольцом конечной гомологической
размерности, производная, копроизводная и контрапроизводная катего-
рии DG-модулей совпадают.
. Всякой CDG-коалгебре C можно сопоставить CDG-алгебру B над k |
кобар-конструкцию C. Копроизводная = контрапроизводная категория
левых CDG-модулей над B эквивалентна копроизводной категории ле-
вых CDG-комодулей над C и контрапроизводной категории левых CDG-
контрамодулей над C (\кошулева тройственность").
Когда CDG-коалгебра C коаугментирована и конильпотентна, CDG-
алгебра B оказывается на самом деле DG-алгеброй, и при этом произ-
водная категория левых DG-модулей над B эквивалентна копроизводной
категории левых CDG-комодулей над C и контрапроизводной категории
левых CDG-контрамодулей над C.
. Категория ненулевых DG-алгебр над k, локализованная по классу квази-
изоморфизмов, эквивалентна категории (коаугментированных и) кониль-
потентных CDG-коалгебр над k, локализованной по классу фильтрован-
ных квазиизоморфизмов.
. Категория строго унитальных A# -aлгебр и строго унитальных A# -
морфизмов между ними эквивалентна категории коаугментированных
CDG-коалгебр, подлежащие градуированные коалгебры которых явля-
ются косвободными конильпотентными (тензорными) коалгебрами.
Аналогично, категория строго унитальных CA# -коалгебр (A# -
коалгебр с кривизной) и строго унитальных CA#-морфизмов между
ними эквивалентна категории CDG-алгебр, подлежащие градуированные
алгебры которых являются свободными ассоциативными алгебрами.
. Копроизводная категория CA# -комодулей и контрапроизводная катего-
рия CA# -контрамодулей над (строго унитальной) CA# -коалгеброй есте-
ственно эквивалентны (комодульно-контрамодульное соответствие для
CA# -коалгебр). Это следует из результатов о копроизводной = контра-
производной категории CDG-модулей над CDG-алгеброй, подлежащая
градуированная алгебра которой свободна.
3

. В категории конильпотентных (так же, как и произвольных) CDG-
коалгебр нет универсального конечного объекта. Добавим его фор-
мально и получим \финализованную" категорию конильпотентных CDG-
коалгебр. Эта категория произвольные пределы и копределы, а также
естественную структуру замкнутой модельной категории.
Класс слабых эквивалентностей порождается фильтрованными квази-
изоморфизмами, корасслоения суть инъективные морфизмы, а является
ли морфизм CDG-коалгебр расслоением, зависит тоже только от под-
лежащего морфизма градуированных коалгебр. Условие на последний
состоит в том, что верхняя коалгебра, как конильпотентная коалгебра,
должна косвободно копорождаться нижней коалгеброй и каким-то гра-
дуированным векторным пространством.
. Векторному расслоению на аффинном гладком алгебраическом много-
образии можно сопоставить алгебру дифференциальных операторов,
действующих в сечениях этого расслоения. Выбрав в этом расслоении
связность, можно также получить структуру CDG-алгебры на алгебре
дифференциальных форм с коэффициентами в эндоморфизмах исходного
расслоения (с дерамовским дифференциалом, зависящим от связности и
имеющим ненулевой квадрат). Когда многообразие неаффинно, получа-
ется когерентный пучок CDG-алгебр.
Ограниченная производная категория когерентных модулей над пуч-
ком колец дифференциальных операторов эквивалентна абсолютной про-
изводной категории когерентных CDG-модулей над пучком CDG-алгебр
де Рама. (Аналогичный результат для неограниченной производной ка-
тегории квазикогерентных D-модулей был опубликован несколько ранее;
см. отчет за 2008 год. Когерентный случай является для этой теории
более сложным, чем квазикогерентный.)
. Можно также задаться вопросом об описании производной категории
точной категории фильтрованных D-модулей (с фильтрацией, согласо-
ванной с естественной фильтрацией на дифференциальных операторах).
Любому CDG-кольцу B сопоставляется градуированное кольцо B # поро-
жденное B и элементом ф с соотношениями d(b) = [ф; b] и ф 2 = h. Про-
изводная категория фильтрованных D-модулей описывается в терминах
производной категории градуированных модулей над алгеброй B # , свя-
занной с дерамовской CDG-алгеброй (B; d; h).
Отдельный интерес представляет случай неограниченно фильтрован-
ных D-модулей (о котором имеет смысл говорить в случае аффин-
ного многообразия). Производная категория полно и кополно неограни-
ченно фильтрованных D-модулей эквивалентна полупроизводной катего-
рии градуированных модулей над B # относительно ограничения струк-
туры до структуры градуированных модулей над B. Здесь полупро-
изводная категория определяется как факторкатегория гомотопической
4

категории комплексов градуированных B # -модулей по триангулирован-
ной категории комплексов модулей, коацикличных или контраациклич-
ных над B. Аналогичный результат имеет место для любой неоднород-
ной кошулевой фильтрованной алгебры.
2. Опубликованные и поданные в печать работы
2.1. Опубликован препринт arXiv:0905.2621 [math.CT], 135 стр. В настоящее
время эта работа рассматривается в журнале Asterisque.
2.2. Совместная с Р. Безрукавниковым работа: Roman Bezrukavnikov, Leonid
Positselski. On semi-innite cohomology of nite dimensional graded algebras.
(arXiv:0803.3252 [math.QA], 17 стр.), поданная в журнал Compositio Math. в
2008 году, была в 2009 году принята к печати этим журналом.
См. http://www.lms.ac.uk/publications/compositio/forthcoming.html
2.3. Заключен контракт с издательством Birkhauser Basel, предусматривающий
публикацию в 2010 году моей монографии в серии Monograe Matematyczne на
основе препринта: Leonid Positselski. Homological algebra of semimodules and
semicontramodules. With appendices coauthored by S. Arkhipov and D. Rumynin.
arXiv:0708.3398 [math.CT], 310 стр.
См. http://www.springer.com/birkhauser/mathe-
matics/book/978-3-0346-0435-2
3. Участие в конференциях, доклады на семинарах
3.1. Я участвовал в конференции \Молодая математика России" (конференция
победителей конкурсов П. Делиня и фонда \Династия"), 12{13 января 2009 года.
Сделал получасовой доклад на тему \Полубесконечные гомологии ассоциатив-
ных алгебраических структур".
См. http://www.mccme.ru/lifr/ddconf2008/index.htm
3.2. Я сделал часовой доклад на тему \Koszul Triality" на семинаре по алге-
бре в Институте Анри Пуанкаре в Париже 6 апреля 2009 г. Этот мой доклад
упоминается в разделе \Acknowledgement" работы arXiv:0905.3845 [math.KT]
авторства B. Keller, W. Lowen, P. Nicolas.
3.3. Я участвовал в конференции (workshop) \Triangulated Categories and Sin-
gularities" 26{30 мая 2009 года в Падерборне, Германия. Я не делал доклада в
Падерборне, но имел очень полезные обсуждения с участниками конференции в
перерывах, повлиявшие на мою работу.
См. http://www2.math.uni-paderborn.de/ags/pbrep/meet-
ings/triangulated-categories-and-singularities.html
5

4. Работа в научных центрах
С 1 марта по 30 апреля 2009 года я был визитором в институте IH 
ES в городе
Бюр-сюр-Иветт, Франция. В результате имевших место обсуждений, в мою ра-
боту arXiv:0905.2621 (см. Remark 7.3) был включен набросок доказательства
следующего результата, основные идеи формулировки и доказательства кото-
рого принадлежат профессору IH 
ES М. Концевичу.
. Всякий CA# -модуль над CA# -алгеброй (A# -алгеброй с кривизной) над
полем (с ненулевым элементом кривизны) стягиваем. Это верно также
и для строго унитальных CA# -модулей над строго унитальной CA# -
алгеброй с кривизной. Если у такой алгебры элемент кривизны не про-
порционален единичному элементу (последнее невозможно в случае Z-
градуировки, но может иметь место в случае Z 2
-градуировки), то класс
строго унитального A# -изоморфизма такой алгебры зависит только от
размерностей ее градуировочных компонент.
5. Педагогическая деятельность
В марте-апреле 2009 года я прочитал сетевой миникурс на тему \Комодульно-
контрамодульное соответствие и представления бесконечномерных алгебр Ли".
Организатором курса выступил Физматклуб при ПОМИ РАН. Курс состоял из
пяти двухчасовых лекций и читался по интернету через www.webex.com .
Записи лекций доступны в интернете со страницы
http://club.pdmi.ras.ru/moodle/course/view.php?id=10
6