Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2008/reports/Mikhailovotchet_2010.pdf Дата изменения: Tue Nov 30 12:12:00 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 23:40:45 2011 Кодировка: Windows-1251

Отчет за 2010 год Р. Михайлова
Результаты: Найдена связь теории гомотопических групп сфер с теорией обобщенных размерных подгрупп, в частности результаты о группах сфер использованы для доказательства результатов о групповых кольцах свободных групп. В частности, в работе с Пасси и Ву показано следующее. Для кольца A и двусторонних идеалов I1 , . . . , In (n 2) в A рассмотрим их симметрическое произведение:

(I1 . . . In )S :=
n

I1 . . . In ,

где n n-я симметрическая группа. Отметим, что всегда (I1 . . . In )S I1 ћ ћ ћIn , отдако это включение может быть строгим. Пусть F свободная группа и пусть R1 , . . . , Rn нормальные подгруппы в F . Рассмотрим двусторонние идеалы в групповом кольце Z[F ] определяемые как ri = (Ri - 1)Z[F ], i = 1, . . . , n. Обозначим через [R1 , . . . , Rn ]S симметрический коммутант:

[R1 , . . . , Rn ]S =
n

[. . . [R1 , R2 ], . . . , Rn ].

Пусть

f

F ;R1 , ... , Rn

:

R1 ћ ћ ћ Rn r1 ћ ћ ћ rn , [R1 , . . . , Rn ]S (r1 . . . rn )S

естественное отображение, задаваемое как

f

F ;R1 , ... , R

n

: g .[R1 , . . . , Rn ]S g - 1 + (r1 . . . rn )S , g R1 ћ ћ ћ Rn .

Показано, что для некоторых F, R1 , . . . , Rn , существует пространство X , такое что отображение fF ;R1 , ... , Rn - это (n - 1)-й гомоморфизм Гуревича:
R1 ... Rn [R1 , ... , Rn ]S fF
;R1 , ... , Rn

/

r1 ћћћrn (r1 ... rn )S

(1)

n-1 (X )

/ Hn-1 (X )

К примеру, пусть F свободная группа с базисом {x1 , . . . , xn-1 }, n 3 и Ri = xi F , i = 1, . . . , n - 1, Rn = x1 . . . xn-1 F . Тогда можно выбрать X = S 2 в диаграмме (1). Этот пример показывает, что методы теории гомотопий играют серьезную роль в теории групповых колец. Получено решение проблемы С.В. Иванова из Коуровской тетради. Для свободной бернсайдовой группы B (2, n) для достаточно большой экспоненты n, построены неэлементарные делители нуля в групповом кольце. Получен ряд результатов в теории производных функторов от неаддитивных функторов.
1


2

Опубликованы работы: 1. (with Wu J.) On homotopy groups of the suspended classifying spaces, Alg. Geom. Top. 10 (2010), 565-625; arXiv: 0908.3580 2. (with Belov A. Ya.) Free subalgebras of Lie algebras close to nilpotent, Groups, Geometry and Dynamics 4 (2010), 15-29; arXiv: 0805.0723 3. (with Passi I.B.S.) Limits over categories of extensions, Ind. J. Pure Appl. Math. (2010); arXiv: 0904.0634 4. (with Ellis G.) A colimit of classifying spaces, Advances in Math. 223 (2010), 2097-2113; arXiv:0804.3581 Приняты в печать: 1. (with Breen L.) Derived functors of non-additive functors and homotopy theory, to appear Alg. Geom. Top.; arXiv: 0910.2817 2. 33. (with Passi I.B.S. and Wu J.) Symmetric ideals in group rings and simplicial homotopy, to appear J. Pure Appl. Algebra; arxiv: 1002.0128 Препринт: 1. On the homology of the dual de Rham complexes, preprint; arxiv: 1001.2824 Выступления на конференциях и школах: Прочел курс лекций на школе по теории групп в Бомбее в мае 2010. Выступал на конференции Topology, Geometry, and Dynamics: Rokhlin Memorial в Санкт-Петербурге, а также на конференции "АЛГЕБРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: методы, связи и приложения", посвященной 70-летию со дня рождения А.Н. Тюрина. В июне 2010 года защитил докторскую диссертацию "Гомотопическая теория нормальных рядов в группах".