Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/reports/2011-Nicolskaya.pdf Дата изменения: Tue Jan 3 12:47:03 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 16:18:13 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Отчет Никольской Ольги Владимировны по гранту Фонда "Династия" за 2011 год

1. Результаты, полученные в 2011 году:

Гладкая комплексная проективная поверхность S называется K 3 поверхностью, если

2 O S

S

и H 1 (S, OS ) = 0.

В дальнейшем k : Xk C

(k = 1, 2) сюръективный морфизм гладкого проективно-

го 3-мерного многообразия Xk на гладкую проективную кривую C , общий геометрический слой которого является K3 поверхностью. Мы называем семейство k : Xk C неизотривиальным, если существуют хотя бы два неизоморфных гладких геометрических слоя морфизма k . В статье [2] доказаны следующие основные результаты:
Теорема 1.

Пусть k : Xk C (k = 1, 2) проективное неизотривиальное семейство

K 3 поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой C .
Предположим, что множества k = { C | Sing(Xk ) = } (k = 1, 2) не пересекаются. Если для общих геометрических слоев X
(ii) rank NS(X1s ) = rank NS(X2s ),
1s

иX

2s

выполнены следующие условия:

(i) rank NS(X1s ) является нечетным числом;

то для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения X1 ЧC X верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

2

Если, кроме того, морфизмы 1 и 2 гладкие, pk = 22 - rank NS(Xks ) нечетные простые числа и p1 = p2 , то для X1 ЧC X2 верна стандартная гипотеза Гротендика об алгебраичности операторов и теории Ходжа.
Здесь общность точки s C означает, что она принадлежит множеству C \countable , где

countable - счетное подмножество, зависящее от семейств k ; мы можем также предполагать,
что функции s rank NS(Xks ) постоянны на множестве C \ countable (см. замечание 4.6).
Теорема 2.

Пусть C - гладкая проективная кривая над полем комплексных чисел, 1 :

X1 C - гладкое проективное неизотривиальное семейство K 3 поверхностей, причем 1


для общего геометрического слоя X

1s

число 22 - rank NS(X1s ) = p1 является неч?тным

простым. Тогда для расслоенного квадрата X = X1 ЧC X1 верны гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза Гротендика B (X ) типа Лефшеца об алгебраичности операторов

и теории Ходжа.
Напомним, что алгебраичность оператора

:

H

10-i

(X, Q) H i (X, Q),

(i 5)
p

эквивалентна существованию такого алгебраического цикла Z =

np Zp коразмерности i

на X Ч X с коэффициентами np Q, что оператор можно представить в виде композиции

H

10-i

(X, Q) - H -1

pr

10-i

(X, Q) H 0 (X, Q) - - - - H - - -

cl

X ЧX

(Z )

10+i

(X Ч X, Q) - 2 H i (X, Q), -

pr

где prk : X Ч X X - канонические проекции. Если гипотеза B (X ) верна, то хорошо известно, что численная эквивалентность алгебраических циклов на X совпадает с гомологической, компоненты Кюннета класса диагонали X X Ч X алгебраические, Q-алгебра алгебраических самосоответствий на X является полупростой.
2. Опубликованные и поданные в печать работы:

1) О.В.Никольская, Об алгебраических циклах на расслоенном произведении гладких семейств К3 поверхностей, Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 1-5 июля 2011 года), тезисы доклада, 150-152. 2) О.В.Никольская, Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств K3 поверхностей, Известия РАН. Серия математическая (статья находится в редакции журнала).
3. Участие в конференциях и школах:

1) Участвовала в работе летней школы по алгебраической геометрии (Ярославль). 2) Участвовала в работе Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 1-5 июля 2011 года).
4. Работа в научных центрах и международных группах:

Работаю по гранту РФФИ 09-01-00132-a (научный руководитель Танкеев С.Г.)
5. Педагогическая деятельность:

Работаю ассистентом кафедры алгебры и геометрии Владимирского государственного университета имени А.Г. и Н.Г.Столетовых. Сдала экзамены кандидатского минимума по философии и иностранному языку. 2