Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/reports/2013-Nicolskaya.pdf Дата изменения: Fri Dec 13 12:05:58 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 20:21:00 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Отчет Никольской Ольги Владимировны по гранту Фонда "Династия" за 2011 - 2013 гг

Предполагаемый план исследований на 2011-2013 гг.
В 2011 году предполагалоcь доказать гипотезу Ходжа и стандартную гипотезу для расслоенного произведения поверхностей

B (X ) K3

X = X 1 ЧC X

2 двух неизотривиальных семейств

k : X

k

C sC X

(k = 1, 2)

со стабильными вырождениями при условии,

что для любой точки геометрического слоя

хотя бы один из сло?в

X1s , X

2s неособый, а для общего

ks число

22 - rank NS(Xks ) = p

k является неч?тным простым

(k = 1, 2)

и

p1 = p

2.

При доказательстве этого результата предполагалось использовать тонкие факты из теории смешанных структур Ходжа, а также существование некоторых

канонических

разложений когомологий, связанных со спектральными последовательностями Лере. В 2012 году предполагалось доказать стандартную гипотезу произведения

B (X )

для расслоенного поверхностей с

X1 ЧC X

2 , где

X1 C

- неизотривиальное семейство

K3

полустабильными вырождениями и

X2 C X

- абелева схема относительной размерности

2, причем для общего геометрического слоя

ks

(k = 1, 2)

выполнены следующие условия:

22 - rank NS(X1s ) = p

1 - неч?тное простое число и

End(X2s ) Z.

В 2013 году предполагалось обобщить эти результаты, ослабив требования к гладкости сло?в и числам

p

k . Предполагалось также защитить кандидатскую диссертацию.

1. Результаты, полученные в 2013 году:

Гладкая комплексная проективная поверхность

S

называется

K3

поверхностью, если

2 O S

S

и

H 1 (S, OS ) = 0. k : Xk C X (k = 1, 2)
сюръективный морфизм гладкого проективно-

В дальнейшем

го 3-мерного многообразия слой которого является

k на гладкую проективную кривую

C

, общий геометрический

K3

поверхностью. Мы называем семейство 1

k : X k C

неизотри-


виальным, если существуют хотя бы два неизоморфных гладких геометрических слоя морфизма



k.

Для гладкого слоя ранству Через

X

ks обзначим через

NSQ (Xks )

ортогональное дополнение к простотносительно индекса пересечения.

NSQ (Xks ) = NS(Xks ) Z Q H 2 (Xks , Q)
обозначим группу Ходжа

def

Hg(Xks )

K3

поверхности

X

ks .

Пусть

k : X k C

такой морфизм гладкого проективного трехмерного многообразия

на кривую, что все слои морфизма кратности



k являются объединениями гладких поверхностей

1

с нормальными пересечениями, общий геометрический слой

X

ks является

K3

поверхностью (k

= 1, 2).

Если любая локальная монодромия



, ассоциированная с особым

слоем и действующая на то мы говорим, что вырождениями

H 2 (Xks , Q)
k

, удовлетворяет условию семейство

N

2

= 0,

где

N = log( ),



k

:X

C

K3

поверхностей с полустабильными

рационального

типа. Согласно результатам Вик.С. Куликова, в этом случае

можно считать, что все вырожденные слои морфизма



k являются объединениями гладких

рациональных

поверхностей

V

i кратности 1 с нормальными пересечениями, двойные кривые

C

i,j на каждой поверхности

V

i являются гладкими

рациональными

кривыми, образующими

цикл, локализация семейства

k : X k C

над любым открытым диском в

C

имеет

тривиальный канонический класс.
План в основном выполнен, получены доказательства гипотезы Ходжа и стандарт-

ной гипотезы Гротендика об алгебраичности оператора Ходжа звездочка для гладких проективных моделей расслоенного произведения двух неизотривиальных семейств K3 поверхностей над гладкой проективной кривой при слабых ограничениях на вырождения и ранги групп Нерона - Севери общих геометрических слоев семейств. Это позволит в дальнейшем проверить гипотезу Мюрре о существовании разложения Чжоу - Кюннета, а также мотивную гипотезу Лефшеца для рассматриваемых многообразий в случае вырождений рационального типа (когда компоненты вырожденного слоя семейства и их пересечения рациональные). Не удалось распространить доказательство гипотезы Гротендика на случай расслоенного произведения семейства K3 поверхностей и абелевой схемы относительной размерности 2 над гладкой проективной кривой (причина - недостаток времени).

2


Результаты, опубликованные в Известиях РАН [4]: 0.1. Теорема.

Пусть

k

:X

k

C (k = 1, 2) проективное неизотривиальное

семейство K 3 поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой C . Предположим, что множества k = { C | Sing(Xk ) = } (k = 1, 2) не пересекаются. Если для общих геометрических слоев X
(i) (ii)

1s

иX
;

2s

выполнены следующие условия

:

rank NS(X1s ) является нечетным числом rank NS(X1s ) = rank NS(X2s )
,

то для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения X1 ЧC X верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

2

Если, кроме того, морфизмы 1 и 2 гладкие, pk = 22 - rank NS(Xks ) (k = 1, 2) нечетные простые числа и p1 = p2 , то для X1 ЧC X2 верна стандартная гипотеза Гротендика об алгебраичности операторов и теории Ходжа.
0.2. Теорема.

Пусть C - гладкая проективная кривая над полем комплексных чисел, число 22 - rank NS(X1s ) = p1 является

1 : X1 C - гладкое проективное неизотривиальное семейство K 3 поверхностей,
причем для общего геометрического слоя X
1s

неч?тным простым. Тогда для расслоенного квадрата X = X1 ЧC X1 верны гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза Гротендика B (X ) типа Лефшеца об алгебраичности операторов и теории Ходжа.
Результаты, поданные в печать в Математические заметки [5]: Теорема 1.

Для проективных неизотривиальных семейств k : Xk C

K 3 поверх-

ностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой C предположим, что общие геометрические слои X1s , X2s удовлетворяют хотя бы одному из следующих условий:
(i) (ii)

rank NS(X1s ) является нечетным числом rank NS(X1s ) = 18, EndHg
(X1s )

,

rank NS(X1s ) = rank NS(X2s )

; .

NSQ (X1s ) = Q, rank NS(X1s ) = rank NS(X2s )

Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения X1 ЧC X верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.
Теорема 2.

2

Гипотеза Ходжа верна для гладкой модели X расслоенного квадрата выполнено хотя бы одно из следующих условий:

X1 ЧC X1 , если семейство K 3 поверхностей 1 : X1 C неизотривиальное и для общего
геометрического слоя X
(iii) (iv)

1s

p1 = 22 - rank NS(X1s ) нечетное простое число; rank NS(X1s ) = 18 и EndHg
(X1s )

NSQ (X1s ) = Q.
3


Результаты, поданные в печать в Математический сборник [6]: Теорема. Пусть

k : Xk C (k = 1, 2)

проективные неизотривиальные семейства

K3

поверхностей

(возможно

с вырождениями

)

над гладкой проективной кривой

C

. Пред-

положим, что общие геометрические слои (i) кольцо (ii) (iii)

X1s , X

2s удовлетворяют следующим условиям:

EndHg

(X1s )

NSQ (X1s )




мнимое квадратичное расширение поля

Q,

rank NS(X1s ) = 18, EndHg
(X2s )

NSQ (X2s )

вполне вещественное поле или

rank NS(X1s ) < rank NS(X2s ). X1 ЧC X
2

Тогда для любой гладкой проективной модели верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

X

расслоенного произведения

2. Опубликованные и поданные в печать работы:

[1] О.В.Никольская, Об алгебраических циклах на расслоенном произведении гладких семейств К3 поверхностей, Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 1-5 июля 2011 года), тезисы доклада, 150-152. [2] О.В. Никольская, Об алгебраических циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств

K3

поверхностей, Международная конференция по математической

теории управления и механике (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 года), тезисы доклада, 128-129. [3] О.В. Никольская, О циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств

K3

поверхностей, Международная конференция по математической теории управления

и механике (Суздаль, 5-9 июля 2013 года), тезисы доклада, 177-179. [4] О.В. Никольская, Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств

K3

поверхностей, Известия РАН. Серия математическая 77:1 (2013), 145-164. [5] О.В. Никольская, Об алгебраических классах когомологий на гладкой модели рас-

слоенного произведения семейств K3 поверхностей, Математические заметки (статья находится в редакции журнала). [6] О.В. Никольская, О геометрии гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей, Математический сборник РАН (статья принята к печати).
3. Участие в конференциях и школах:

Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011, 2012, 2013 гг). Летняя школа по алгебраической геометрии (Ярославль, 2011 г). Конференция "Рождественские математические встречи, посвященная двадцатилетию Независимого Московского университета и организуемой НМУ, Математическим институтом им. В.А. Стеклова РАН и фонлом Дмитрия Зимина "Династия"(Москва, 2012 г). 4


4. Работа в научных центрах и международных группах:

2011-2012 г. - работала по гранту РФФИ 09-01-00132-a (научный руководитель Танкеев С.Г.). 2012-2013 г. - работаю по гранту РФФИ 12-01-00097-а (научный руководитель Танкеев С.Г.).
5. Педагогическая деятельность:

Работаю ассистентом кафедры алгебры и геометрии Владимирского государственного университета имени А.Г. и Н.Г.Столетовых. Подготовлены кандидатская диссертация и автореферат.

5