Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/reports/2013-Panov-report.pdf Дата изменения: Tue Dec 3 16:53:36 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:04:34 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ОТЧЕТ О НАУЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО ГРАНТУ ФОНДА ?ДИНАСТИЯ? (КОНКУРС 2010 Г.) ЗА 2013 Г.
ПАНОВ ТАРАС ЕВГЕНЬЕВИЧ

1. Результаты, полученные в 2013 г. Продолжено изучение топологии, комплексной и лагранжевой геометрии многообразий с действием тора, в соответствии с 3 основными направлениями, заявленными в проекте. Изучены мероморфные функции, дивизоры и общие аналитические подмножества для некэлеровых комплексно-аналитических структур общего положения на момент-уголмногообразиях. Получена новая конструкция гамильтоново-минимальных лагранжевых подмногообразий в торических многообразиях (в частности, в комплексном проективном пространстве). 1. Комплексная структура на момент-угол-многообразии

Z

зада?тся на-

бором данных, включающих полный симплициальный веер. В случае, когда этот веер является рациональным, возникает голоморфное расслоение

Z

над торическим многообразием со слоем комплексный тор. Изучение

этого расслоение привело к описанию кольца когомологий Дольбо и вычислению чисел Ходжа в работе 2012 г. Дальнейшему исследованию комплексной геометрии момент-угол-многообразий посвящена работа [PUV] Вербицкого, Панова и Устиновского. В общем случае (когда задающий комплексную структуру веер не является рациональным) голоморфное расслоение комплексного момент-угол-многообразия многообразием заменяется на голоморфное

Z над торическим слоение F с (CЧ )m -действием,

транзитивным в трансверсальном направлении. Построены трансверсально кэлеровы метрики на момент-угол-многообразиях. Доказано, что все кэлеровы подмногообразия в момент-угол-многообразии общего положения лежат в комплексном торе, содержащемся в листе слоения

F

. Для

комплексной структуры общего положения доказано, что все комплексные подмногообразия являются момент-угол-многообразиями меньшей размерности (в частности, их лишь конечное число). Это влеч?т, что алгебраическая размерность многообразия

Z

равна нулю.

2. В работе Миронова и Панова [МП1] изучена топология гамильтоновоm минимальных (H-минимальных) лагранжевых подмногообразий N в C , построенных по пересечениям вещественных квадрик в работе Миронова.

H

-минимальность является симплектическим аналогом понятия мини-

мального подмногообразия в римановой геометрии. В общем случае конструкция Миронова да?т погруж?нное H-минимальное подмногообразие, и в [МП1] получен критерий вложения, устанавливающий связь с известной


2

ПАНОВ ТАРАС ЕВГЕНЬЕВИЧ

конструкцией Дельзанта гамильтоновых торических многообразий. Построены новые примеры H-минимальных подмногообразий с достаточно 3 сложной топологией: например, пространство расслоения над T со слоем риманова поверхность рода

5.

Дальнейшее обобщение данной конструкции

было использовано в [МП2] для построения Н-минимальных лагранжевых подмногообразий в торических многообразиях (в частности, в комплексном проективном пространстве, что обобщает серии известных примеров торов Клиффорда и др.). 3. Результатам о геометрических структурах на момент-уголмногообразиях посвящ?н обзор Панова [Па]. Кроме того, продолжена работа над монографией Toric Top ology [BP] (совместно с В. М. Бухштабером), которая планируется к выходу в издательстве Американского Математического Общества в 2014 г. В настоящее время подготовлены главы 17 и 9. 2. Опубликованные и поданные в печать работы. Опубликовано в печатных рецензируемых журналах (3): [МП1] А. Е. Миронов, Т.Е. Панов.

[МП2]

Пересечения квадрик, момент-уголмногообразия и гамильтоново-минимальные лагранжевы вложения. Функц. анализ и его прил. 47 (2013), вып. 1, стр. 4761. А. Е. Миронов, Т.Е. Панов. Гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия в торических многообразиях. Успехи мат.

наук [Па] Т. Е.

68

(2013), вып. 2, стр. 203204.

многообразиях.

Панов.

Геометрические

Успехи мат. наук

68

структуры

на

момент-угол-

(2013), вып. 3, стр. 111186.

Электронный препринт (подано в журнал) (1): [PUV] Taras Panov, Yuri Ustinovsky and Misha Verbitsky.

of moment-angle manifolds.

Complex geometry

Preprint (2013); arXiv:1308.2818.

Монография (1): [BP] V. M. Buchstab er and T.E. Panov.

Toric Topology.

arXiv:1210.2368 В

настоящее время подготовлены главы 17 из 9. 3. Участие в конференциях и школах.

47 декабря 2013. 27 сентября 2013. 2831 августа 2013. 812 июля 2013.

Международная

конференция

Геометрия

и

анализ на метрических структурах, Новосибирск; пленарный доклад Intersections of quadrics and Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds. Открытая российско-китайская конференция Torus actions: Top ology, Geometry, Numb er Theory, Хабаровск; пленарный доклад Homotopy theory of moment-angle complexes. Международная конференция Дни геометрии в Новосибирске. 2013, Новосибирск; пленарный доклад. International Conference on Algebraic and Geometric Top ology, Chern Institute, Nankai University, Tianjin, China; plenary talk Complex geometry and toric top ology.


ОТЧЕТ ЗА 2013 Г.

3

16 июля 2013.
angle manifolds.

Workshop on Algebraic Top ology; Capital Normal

University, Beijing, China; collo quium talk Geometric structures on moment-

811 января 2013.

Рождественские математические встречи фон-

да ?Династия?, НМУ, Москва; talk Гомотопический тип момент-уголкомплексов.

4. Работа в научных центрах и международных группах Являюсь руководителем российской группы совместного российскокитайского гранта РФФИАкадемия Наук Китая 13-01-91151-ГФЕН ?Действия торов: топология, геометрия и теория чисел? и членом российской группы совместного российско-японского гранта РФФИJSPS 12-01-92104ЯФ ?Топология и геометрия действий тора и комбинаторика пространств орбит?.

5. Педагогическая деятельность. Профессор механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Весна 2013 г.:

лекции ?Линейная алгебра и геометрия? на механико(1 курс) Казахстанского филиала МГУ

математическом

факультете

(г. Астана); специальный курс ?Торическая топология и приложения? (совместно с В. М. Бухштабером и А. А. Гайфуллиным) для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся по геометрии и топологии.

Осень 2013 г.:

специальный курс ?Характеристические классы и кого-

мологические операции? (совместно с В. М. Бухштабером и А. А. Гайфуллиным) для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся по геометрии и топологии. Осуществляю научное руководство 2 аспирантами (Лимонченко Иван, Устиновский Юрий) и 3 студентами 35 курсов.

6. Итог 3 лет. В исходной заявке были обозначены следующие 3 направления в рамках исследований геометрии и топологии момент-угол-многообразий.

[Топология]

Продолжить и комплексов. типа

изучение Используя для ряда

топологии методы

момент-уголгомотопий

многообразий и

теории серий

(высшие произведения Уайтхеда), получить описание гомотопического топологического

ZP

важных

ков; в частности, для многогранников, приводящих к многообразиям

ZP

неформальным

многогранни-

.


4

ПАНОВ ТАРАС ЕВГЕНЬЕВИЧ

[Комплексная геометрия]
чае, когда

Изучить инварианты некэлеровых ком-

плексных структур на момент-угол-многообразиях

Z

K , в частности в слу-

K

не происходит из многогранника. Описать мультипликатив-

ную структуру когомологий Дольбо

ZK

и вычислить числа Ходжа. Изу-

чить топологические следствия данного вычисления.

[Лагранжева геометрия]

Пересечения вещественных квадрик в

Cm

были отправной точкой в конструкции А. Миронова минимальных и m гамильтоново-минимальных лагранжевых подмногообразий в C . Так как те же пересечения квадрик приводят к момент-угол-многообразиям, наши результаты об их топологии открывают путь к построению минимальных лагранжевых подмногообразий с достаточно сложной топологией, а также к лучшему пониманию геометрии соответствующих лагранжевых вложений. В первом направлении в работе Jelena Grbic, Taras Panov, Stephen Theriault and Jie Wu, Homotopy types of moment-angle complexes; arXiv:1211.0873 (см. отч?т за 2012 г.) получено описание класса флаговых симплициальных комплексов K , для которых соответствующий моментугол-комплекс ZK имеет гомотопический тип букета сфер. Критерий выглядит следующим образом: кольцо граней K должно быть кольцом Голода, или, эквивалентно, одномерный остов комплекса K должен быть хордовым графом (это понятие играет важную роль в комбинаторных аспектах теории оптимизации на графах). Также явно вычислено количество сфер данной размерности в букете. В случае букета сфер пространства петель на

ZK

и

DJ (K )

гомотопически эквивалентны произведению сфер

и петель на сферах; при этом показано, что каноническое отображение

ZK DJ (K )

описывается итерированными произведениями Уайтхеда

двумерных сферических классов. В общем случае описан минимальный набор мультипликативных образующих алгебры Понтрягина (гомологий петель)

H (ZK )

.

Однако в общем случае (когда симплициальный комплекс описать класс комплексом пока не уда?тся. Следующим шагом является описание комплексов цо граней

K

не явля-

ется флаговым и тем самым возникают высшие произведения Уайтхеда)

K

, для которых

ZK

является букетом сфер,

K

Z[K ]

, для которых коль-

является минимально не-Голодовым. Имеется предположе-

ние, что все соответствующие момент-угол-многообразия диффеоморфны связной сумме произведений сфер. Данный вопрос исследуется в настоящее время моим аспирантом Лимонченко.

Taras Panov and Yuri Ustinovsky, Complex-analytic structures on moment-angle manifolds, Moscow Math. J. 12 (2012), no. 1, 149172 и подна работа

По второму направлению задачи, в основном, выполнены. Опубликова-

готовлен препринт [PUV] (см. отч?т за 2012 г. и раздел 1 данного отч?та). Здесь возникло много новых интересных задач, исследования продолжаются. То же касается и третьего направления.
E-mail address
:

tpanov@mech.math.msu.su

http://higeom.math.msu.su/people/taras/