Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2011/Program1/Todorov_summary.pdf Дата изменения: Mon Oct 17 14:47:08 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 17:26:02 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: астрономическая неделя

План научных исследований.

Планируется вести исследования в тр?х направлениях: доказательства новых аналогов теорем Майзеля и Плисса, эквивалентность сублинейного отслеживания структурной устойчивости, обратное отслеживание для потоков. Задача об отслеживании приближенных траекторий (псевдотраекторий) динамических систем точными траекториями одна из интенсивно изучаемых задач современной глобальной теории динамических систем (см., например, монографии). В последнее время не меньшее внимание уделяется задаче об обратном отслеживании, в которой фиксируется класс методов, порождающих псевдотраектории, и ставится вопрос о том, можно ли аппроксимировать любую точную траекторию траекторией любого метода из данного класса. В частности, интересны связи свойств отслеживания и структурной устойчивости. Хорошо известно, что структурно устойчивая система (то есть либо поток, либо диффеоморфизм замкнутого многообразия) обладает свойствами отслеживания, и при этом эти свойства липшицевы. Совсем недавно было показано, что из наличия свойства липшицева отслеживания у динамической системы следует структурная устойчивость системы. Для дискретных динамических систем существует понятие обратного отслеживания, прич?м известно, что оно эквивалентно структурной устойчивости. Важным шагом в доказательстве этих результатов является применение теоремы Плисса. Она утверждает, что если неоднородная система линейных разностных уравнений на Z для любой ограниченной неоднородности имеет ограниченное решение, то эта система обладает определенными свойствами гиперболичности. На самом деле теорема Плисса существует в опубликованном виде только для систем дифференциальных уравнений на прямой. С теоремой Плисса также связана теорема Майзеля, которая при похожих условиях утверждает наличие некоторых свойств гиперболичности для разностных уравнений, но уже на Z+ . Е? доказательство также существует в опубликованном виде лишь для систем дифференциальных уравнений на полупрямой. Планируется доказательство дискретных аналогов (для разностных, а не дифференциальных уравнений) этих теорем для случая пространств, отличных от пространства ограниченных последовательностей, в частности, для пространств сублинейного роста и сублинейного убывания. То есть планируется получить теорему вида "если неоднородная система линейных разностных уравнений на Z (или Z+ ) для любой слабо убывающей (слабо растущей) неоднородности имеет слабо убывающее (слабо растущее) решение, то эта система обладает определенными свойствами гиперболичности". Бесконечномерные аналоги теорем Майзеля и Плисса используются также в задачах, связанных с уравнениями в частных производных, поэтому планируется связять сублинейные аналоги дискретных теорем с развитой теорий фредгольмовых операторов. Будем называть d-псевдотраекторией динамической системы, порожд?нной гомеоморфизмом f метрического пространтсва M последовательность {xk }kZ точек M , для которой выполнены неравенства dist(xk+1 , f (xk )) < d при целых k . Говорят, что гомеоморфизм f обладает свойством отслеживания, если для любой d-псевдотраектории {xk }kZ существует настоящая траектория {f k (p)}, близкая к ней: dist(xk , f k (p)) < d при целых k . Можно рассматривать и другие свойства отслеживания, в частности, можно сузить понятие псевдотраектории и сделать более ж?стким условие на близость настоящей траектории к исходной последовательности. Планируется доказать эквивалентность полученного таким образом сублинейного свойства отслеживания и структурной устойчивости. Планируется также вветси аналог понятия обратного отслеживания для случая потоков и исследовать его связь со структурной усточйвостью потока. Это представляется крайне непростой задачей, так как для потоков не существует аналога теорема Манэ, используемой при доказательстве многих результатов, связанных с отслеживанием в случае диффеомеорфизмов.

1