Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2011/reports/2013-Arzhantsev_otchet.pdf Дата изменения: Sun Dec 15 17:41:18 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:48:40 2014 Кодировка: Windows-1251

ОТЧЕТ О НАУЧНОЙ И ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО ГРАНТУ ФОНДА "ДИНАСТИЯ" (КОНКУРС 2011 ГОДА) ЗА 2013 ГОД
Аржанцев Иван Владимирович, д.ф.-м.н., профессор

1. Результаты, полученные в 2013 году

Основным объектом изучения в этом году были автоморфизмы алгебраических многообразий. Исследовались орбиты полной группы автоморфизмов на многообразиях, как полных, так и аффинных, свойство бесконечной транзитивности для действия группы автоморфизмов, факторы по действиям групп автоморфизмов и связанные с этим вопросы геометрии многообразий. Пусть

X

алгебраическое многообразие, покрытое открытыми картами, изо-

морфными аффинному пространству. В работе [9] мы доказали, что группа специальных автоморфизмов действует на универсальном торсоре над многообразием

X

бесконечно транзитивно. Этот результат позволяет построить широкие

классы квазиффинных алгебраических многообрзий со свойством бесконечной транзитивности. В качестве

X

можно брать гладкую рациональную алгебра-

ическую поверхность, гладкое полное торическое многообразие, гладкое полное сферическое многообразие, гладкое полное рациональное многообразие с действием тора сложности один, многие трехмерные многообразия Фано и ряд других гладких рациональных алгебраических многообразий. Я продолжал изучать полные алгебраические многообразия с локально транзитивным действием коммутативной унипотентной алгебраической группы. Такие действия называют аддитивными действиями. Как показали Брендан Хассетт и Юрий Чинкель, многообразия с аддитивным действием могут быть описаны в терминах конечномерных локальных алгебр, снабженных некоторыми дополнительными структурами. В качестве таких структур мы рассматриваем порождающее подпространство и инвариантную относительно него полилинейную симметрическую форму. В работе [8] показано, что этот подход описывает аддитивные действия на проективных гиперповерхностях. Там же дано явное описание аддитивных действий на проективных квадриках коранга один. Также я изучаю локально транзитивные действия коммутативных (не обязательно унипотентных) групп. Теория торических многообразий и теория аддитивных действий являются здесь крайними случаями, и интересно исследовать промежуточную ситуацию. В совместной работе с Полиной Котенковой мы показываем, что если коммутативная линейная алгебраическая группа коранга

1


один действуют локально транзитивно либо на аффинном, либо на полном алгебраическом многообразии, то многообразие является торическим, и все такие действия определяются его корнями Демазюра. Этот результат находится в стадии оформления.

2. Работы, опубликованные или поданные в печать в 2013 году

[1] I.V.Arzhantsev, H.Flenner, S.Kaliman, F.Kutzschebauch, and M.Zaidenb erg. Flexible varieties and automorphism groups. Duke Mathematical Journal 162 (2013), no. 4, 767823 [2] I.V.Arzhantsev, D.Celik, and J.Hausen. Factorial algebraic group actions and categorical quotients. Journal of Algebra 387 (2013), 8798 [3] I.V.Arzhantsev and I.A.Bazhov. On orbits of the automorphism group on an ane toric variety. Central Europ ean Journal of Mathematics 11 (2013), no. 10, 17131724 [4] I.V.Arzhantsev, H.Flenner, S.Kaliman, F.Kutzschebauch, and M.Zaidenb erg. Innite transitivity on ane varieties. In: Birational geometry, rational curves, and arithmetic - S imons symp osium 2012, F.Bogomolov, B.Hassett, and Yu.Tschinkel (Editors), Springer Science-Business Media New York, 2013, 113 [5] I.V.Arzhantsev and M.Zaidenb erg. Acyclic curves and group actions on ane toric surfaces. In: Ane Algebraic Geometry, Pro ceedings of the Conference, Osaka, 3-6 March 2011, K.Masuda, H.Ko jima, T.Hishimoto (Editors), World Scientic Publishing Co. Pte. Ltd. 2013, 141 [6] I.V.Arzhantsev. Torsors over Luna strata. In: Torsors, etale homotopy and applications to rational p oints. Pro ceedings of the ICMS workshop in Edinburgh, 10-14 January 2011, London Mathematical So ciety Lecture Note Series 405, A.Skorob ogatov (Editor), Cambridge University Press, 2013, 123-137 [7] I.V.Arzhantsev, U.Derenthal, J.Hausen, and A.Laface. Cox rings (монография). Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press. Сдана в печать в ноябре 2013 года. [8] I.V.Arzhantsev and A.B.Pop ovskiy. Additive actions on pro jective hyp ersurfaces. To app ear in GABAG-2012, Springer Verlag, the Pro ceedings of the Conference Groups of Automorphisms in Birational and Ane Geometry, Levico Terme (Trento), 2012; arXiv:1307.7341, 13 pages [9] I.V.Arzhantsev, A.Yu.Perep echko, and H.Suess. Innite transitivity on universal torsors. To app ear in the Journal of the London Mathematical So ciety, arXiv:1302.2309, 17 pages [10] I.V.Arzhantsev, J.Hausen, E.Herppich, and A.Liendo. The automorphism group of a variety with torus action of complexity one. To app ear in Moscow Mathematical Journal, arXiv:1202.4568, 34 pages

2


3. Участие в конференциях и школах

[1] Конференция Рождественские встречи фонда "Династия, Москва, НМУ, 8-11 января 2013 года доклад "Группа автоморфизмов многообразия с действием тора сложности один" [2] Вторая французско-швейцарская школа по алгебраической геометрии, Энней, Швейцария, 18-22 февраля 2013 года курс "Homogeneous Spaces and Cox Rings (5 лекций) [3] Конференция "Combinatorial Algebraic Geometry, Левико Терме, Италия, 10-15 июня 2013 года. [4] Конференция "Algebraic Top ology and Ab elian Functions, Москва, МИАН, 18-22 июня 2013 года доклад "Innite transitivity on universal torsors" [5] 13-я летняя школа "Современная математика, Дубна, 20-31 июля 2013 года курс "Автоморфизмы аффинных пространств (4 лекции) [6] 8-я летняя школа "Достижения и приложения современной информатики, математики и физики (AACIMP-2013), Киев, Украина, 1-17 августа 2013 года курс "Linear Programming: Theory and Applications (4 лекции)

4. Работа в научных центрах и международных группах

Cовместно c Ульрихом Деренталем (Мюнхен, Германия), Юргеном Хаузеном (Тюбинген, Германия) и Антонио Лафаче (Консепсьон, Чили) мы завершили написание монографии "Cox rings и сдали ее в печать. В этом году я участвовал в работе над разделами о кольцах Кокса-Нагаты, однородных пространствах, сферических и чудесных многообразиях, универсальных торсорах над поверхностями дель Пеццо и других, а также в разработке упражнений ко всем главам. В рамках этого проекта в конце февраля начале марта 2013 года я работал в университете Тюбингена, Германия. Совместно с Михаилом Зайденбергом (Гренобль, Франция), Шулимом Калиманом (Майми, США), Хубертом Фленнером (Бохум, Германия) и Франком Кутчебаухом (Берн, Швейцария) мы продолжали работать над проектом, посвященном бесконечной транзитивности действий групп автоморфизмов. В рамках этого проекта 23-26 февраля я посетил универститет Берна и выступил 25 февраля на коллоквиуме факультета математики с докладом "Cox Rings, Universal

3


Torsors, and Innite Transitivity. Также 14-18 декабря я работал в институте Фурье в Гренобле и 16 декабря сделал доклад "Innite transitivity on universal torsors на семинаре по алгебре и геометрии.

5. Педагогическая деятельность

В 2013 году я руководил работой аспирантов Полины Котенковой и Александра Перепечко и студентов Елены Ромаскевич, Ивана Бажова, Андрея Поповского, Анны Печиной, Константина Логинова, Бориса Степанова, Ольги Яфраковой, Сергея Брагина, Тараса Стасюка, Сурена Данильяна, Олега Круглова и Дмитрия Матвеева. В этом году Елена Ромаскевич и Иван Бажов успешно защитили дипломные работы и осенью Елена поступила ко мне в аспирантуру, а Иван уехал в аспирантуру Женевского университета. В апреле 2013 года Станислав Федотов, окончивший аспирантуру в прошлом году, успешно защитил кандидатскую диссертацию на тему "Полуинварианты и пространства модулей представлений колчанов". В октябре 2013 года прошли предзащиты диссертаций "Действия торов и локально нильпотентный дифференцирования" Полины Котенковой и "Автоморфизмы конечномерных алгебра и аффинных многообразий" Александра Перепечко. Защиты намечены на начало 2014 года. В осеннем семестре я прочитал обязательный курс лекций "Высшая алгебра для второго курса мехмата МГУ и проводил семинарские занятия по курсам "Линейная алгебра и геометрия (I курс, весенний семестр) и "Высшая алгебра (I I курс, осенний семестр). В течение всего года выступал в качестве соруководителя научно-исследовательского семинара "Алгебра Ли и теория инвариантов (совместно с Э.Б. Винбергом, А.Л. Онищиком и Д.А. Тимашевым), спецсеминара "Локально нильпотентные дифференцирования (совместно с П.Ю. Котенковой и Е.Л. Ромаскевич, весенний семестр) и спецсеминара "Алгебраические группы преобразований (совместно c С.А. Гайфуллиным и С.Н. Федотовым, осенний семестр). В осеннем семестре я прочитал обязательный курс "Алгебра-3 в Независимом Московском университете и проводил семинары по этому курсу (совместно с К.Г. Куюмжиян и С.Н. Федотовым).

4