Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/Program1/Karpukhin_Dynasty_summary.pdf Дата изменения: Tue Oct 16 10:45:54 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:58:35 2013 Кодировка: Windows-1251

Оценки кратности и значений собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях

Михаил Карпухин
Проект посвящен спектральной геометрии или, более точно, оценкам на кратности и значения собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами. Спектр оператора Лапласа-Бельтрами важный инвариант риманова многообразия, топологические и метрические свойства которого и планируется изучать в данном проекте. Исследование будет проводится в трех направлениях. i (T2 , g ) Пусть (M , g ) замкнутое риманово многообразие размерности 2. Нормализованное собственное значение оператора Лапласа-Бельтрами i (M , g) = i (M , g) Area(M ) может рассматриваться как функционал на пространстве метрик на M . Кореваар доказал существование верхней оценки для этих функционалов, зависящей только от топологии M . Тем не менее, задача нахождения максимальных метрик решена для очень ограниченного числа многообразий и номеров i. В попытках решить эту задачу было введено понятие экстремальной метрики, которое оказалось тесно связанным с минимально погруженными подмногообразиями в евклидовых единичных сферах Sn . Эль Суфи и Илиас доказали, что метрика g, индуцированная таким погружением является экстремальной для функционала N (2) (M , g), где N () = #{i (M , g ) < }. Эта связь использовалась Ляпуантом, Пенским и автором проекта для построения явных примеров экстремальных метик на торах и бутылках Клейна. В ближайшее время планируется доказать, что все построенные таким образом экстремальные метрики не являются максимальными. Дальнейшие исследования будут вестись в направлении решения следующих задач. 1) Построение метрики, экстремальной для функционала 2 (T2 , g). Это единственный функционал на торе, для которого не известно ни одной экстремальной метрики. 2) Построение максимальных метрик для функционала 1 (T2 , g), ограниченного на конформный класс [g ]. Особый интерес представляют классы, в которых максимальная метрика не является плоской. 3) Хсянг и Лоусон классифицировали все минимальные подмногообразия кооднородности 1 в S3 . В частности, два из четырех известных семейств экстремальных метрик являются минимальными подмногообразиями кооднородности 1 в S3 . Планируется изучить спектральные свойства оставшихся подмногообразий в классификации Хсянга-Лоусона. Задача Стеклова является одним из вариантов постановки спектральной задачи для оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с границей. В недавней работе автору проекта совместно с Кокаревым и И. Полтеровичем удалось получить верхние оценки на кратности соответсвующих собственных чисел i . В дальнейшем планируется продолжить изучение спектра Стеклова, в частности, получить ответ на следующий вопрос. 4) Существует ли последовательность римановых многообразий (Mn , gn ), такая что dim Mn = 2 и нормализованные собственные числа Стеклова 1 (Mn , gn )L( Mn ) при n ? Здесь L( M ) означает длину границы многообразия M . Положительный ответ на этот вопрос означает, что верхняя оценка на первое нормализованное собственное значение существенно зависит от топологии многообразия. Оператор Лапласа естественно продолжается на дифференциальные формы и в этом контексте имеются интересные нерешенные вопросы. Долгосрочным планом является получение ответов на следующие два вопроса. 5) Верно ли, что на любом многообразии M с dim M 6 и для любого N существует метрика, для которой кратность первого ненулевого собственного значения оператора Лапласа на 1 (M ) больше N . 6) Пусть dim M = 3. Верно ли, что существует оценка на кратности собственных чисел оператора Лапласа, ограниченного на 1 (M ), зависящая только от топологии M ?
Изучение функционалов . Задача Стеклова на поверхностях. Кратности собственных значений оператора Лапласа на формах.

1