Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/Program2/Filimonenkova_Summary.pdf Дата изменения: Sun Oct 14 20:17:10 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 19:38:42 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Разработка функционально-геометрического подхода в теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных Филимоненкова Н.В. Краткое изложение заявки

Отправной точкой моего проекта является исследование теории разрешимости одного из типичных представителей полностью нелинейных уравнений в частных производных m-гессиановского уравнения. Класс m-гессиановских уравнений включает в себя при m = 1 уравнение Пуассона, при m = n уравнение Монжа Ампера. К настоящему времени мною проведено исследование классической и слабой разрешимости задачи Дирихле для m-гессиановских уравнений. По итогам работы в 2010 году защищена кандидатская диссертация, результаты опубликованы в научных журналах за 2009 2012 годы. Изучение m-гессиановских уравнений демонстрирует на более или менее простом примере основные закономерности, присущие нетотально эллиптическим нелинейным уравнениям. Вопрос о разрешимости нетотально эллиптического уравнения обычно ставят в специальном функциональном конусе в пространстве C 2 так называемый конус допустимых функций. В ходе моего исследования стало ясно, что специфика нелинейной теории кроется именно в алгебраических и геометрических свойствах конусов допустимых функций, но в настоящий момент эта алгебро-геометрическая база недостаточно разработана в математической литературе и еще в меньшей степени доступна для широкого круга специалистов. Задачи данного проекта следующие: Необходимо собрать и связать воедино разрозненные факты о структуре конусов допустимых функций и найти единый подход к их доказательству, отвечающий потребностям современной теории полностью нелинейных уравнений. В частности, адаптировать и развить на современном уровне результаты из работы Л.Гординга 1959 года, посвященной a-гиперболическим многочленам, которая является базой для изучения конусов допустимых функций.
мых функций. 2. Развитие алгебро-геометрической теории конусов допустимых функций. 1. Систематизация алгебраических и геометрических особенностей конуса допусти-

нения.

2.а

Исследование связи между конусом допустимых функций и типом дифференциального урав-

2.б Исследование двойственных конусов в новой стратификации пространства симметричных матриц, порожденной конусами допустимых функций. 2.в Модернизация понятий m-выпуклой поверхности и m-выпуклой функции, исследование их свойств.

Задачи, предусмотренные проектом, имеют как вспомогательное значение для теории полностью нелинейных уравнений, так и самостоятельную ценность для развития абстрактной алгебры и геометрии.

1