Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/reports/2013-Shchurov_report.pdf Дата изменения: Sun Dec 15 21:27:30 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:39:26 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: туманность бабочка

Отчет 2013
Щуров Илья Валерьевич

Полученные результаты
Быстро-медленные отображения
Быстро-медленной системой

вида

называется семейство дифференциальных уравнений

x = f (x, y , ) y = g (x, y , ),
где малый параметр, переменная x называется быстрой, переменная y медленной. Естественным аналогом быстро-медленных систем среди динамических систем с дискретным временем являются итерации отображений вида

x y



x + f (x, y , ), y + g (x, y , ).

(1)

Получено продвижение в исследовании быстро-медленных отображений. Совместно с Ю.С.Ильяшенко разработан и частично реализован план доказательства теоремы о срыве в быстро-медленных отображениях, аналогичной классической теореме о срыве ПонтрягинаМищенко в быстро-медленных системах с непрерывным временем.

Рис. 0.1: Точка срыва и асимптотика инвариантной кривой. Горизонтальная ось соответствует медленному движению, вертикальная быстрому

Теорема.

Пусть медленная кривая

M := {(x, y ) | f (x, y , 0) = 0}

имеет невы-

рожденную складку в точке

(0, 0).

Вблизи устойчивого участка медленной кривой

1


существует инвариантная кривая

S

, продолжаемая за точку срыва. Расстоя-

ние от медленной кривой до точки срыва вдоль оси медленного движения имеет асимптотику

O(

2/3

),

см. рис. 0.1

Геометрическое доказательство этой теоремы опирается на технику раздутия, разработанную в этом контексте Дюмортье и Руссари [1] и дополнительно развитую другими авторами (см. в частности [2]). Прямое применение этой техники к отображениям вместо дифференциальных уравнений оказывается невозможным, поскольку е? ключевым элементом является гладкая замена времени. В то же время, оказывается возможным вложить быстро-медленное отображение в поток быстромедленной системы в специальных областях, соответствующих различным картам раздутия, с помощью перехода к надстройке, применению теории усреднения и гомотопического метода. После этого доказательство теоремы о срыве проводится стандартными геометрическими методами. Статья находится в стадии подготовки.
Быстро-медленные системы на торе

В серии работ [3, 4, 5] автором были исследованы быстро-медленные системы на двумерном торе со стягиваемой связной невырожденной медленной кривой. Было доказано, что количество циклов, совершающих один обход вдоль медленной координаты, оценивается сверху числом точек складок медленной кривой. В результате исследования уравнения, моделирующего динамику системы с Джозефсоновскими контактами и периодическим возмущением [7], было замечено, что в этой модели появляются быстро-медленные системы на торе с нестягиваемыми медленными кривыми. При этом в силу специального вида уравнения, число предельных циклов, совершающих один обход вдоль медленной координаты, не превосходило двух. Автором была сформулирована гипотеза, что в случае быстро-медленной системы на торе общего вида с нестягиваемыми медленными кривыми возможно появление сколь угодно большого (конечного) числа предельных циклов. Механизмом этого появления является совпадение устойчивого и неустойчивого многообразий. Совместно с Н.А.Солодовниковым было получено продвижение в доказательстве этого утверждения. А именно, проанализированы так называемые вырожденные траектории и решена комбинаторно-геометрическая задача, являющаяся первым шагом на пути построения примера быстро-медленной системы со сколь угодно большим числом предельных циклов. Также было обнаружено, что аналогичный результат имеет место для предельных циклов, совершающих два и более обхода вдоль направления медленного движения. Статья в стадии подготовки. 2


Научные работы
Опубликован препринт [6] (совместно с А. Глуцюком, В. Клепцыным, Д. Филимоновым), принят к печати в ?Функциональный анализ и его приложения?. Опубликована статья [7] (совместно с О. Ромаскевич, В. Клепцыным).

Участие в конференциях и школах
1. Летняя школа ?Динамические системы?, Москва, Ратмино, 20 июня 2 июля 2013. Прочитан миникурс (3 лекции) по быстро-медленным системам и отображениям. 2. Летняя школа ?Recent trends in dynamical systems?, Murcia, 28 January 2013 01 February 2013. 3. Workshop on Slow-Fast Dynamics: Theory, Numerics, Application to Life and Earth Sciences. Bellaterra (Barcelona). June 3 to 7, 2013. 4. New Trends in Dynamical Systems. 1-5 October 2012 at Salou, Catalonia, Spain.

Работа в научных центрах и международных группах
Автор является активным участником и одним из организаторов научного семинара под руководством Ю. С. Ильяшенко, объединяющего специалистов в области динамических систем из России, Франции, Швеции, США и др. стран. В 2013 году автором были совершены две командировки для совместной работы с зарубежными специалистами: в Стокгольм (KTH) и США (Cornell University), не считая конференций и семинаров, перечисленных в предыдущем разделе.

Педагогическая деятельность
Автором ведутся занятия в НИУ ВШЭ (лекции и/или семинары) по математическому анализу, теории вероятностей, дискретной математике, линейной алгебре и теории игр для студентов социальных и экономических специальностей. В 2012-13 учебном году автор в?л семинары по дифференциальным уравнениям для студентов совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ. В осеннем семестре 2013-14 учебного года автор также вед?т семинары по курсу ?Динамические системы? на Факультете инноваций и высоких технологий МФТИ.

3


Список литературы
[1] Dumortier, F. and Roussarie, R. Canard cycles and center manifolds, Mem. Amer. Math. Soc., 121:577, 1996. [2] Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points fold and canard points in two dimensions SIAM J. Math. Anal., 33:2, 286314.
Krupa, M., Szmolyan, P.

[3] [4] [5]

Ducks on the torus: existence and uniqueness. Journal of Dynamical and Control Systems, 16:2 (2010), 267300, arXiv: 0910.1888
I. V. Schurov

Уточные циклы в типичных быстро-медленных системах на торе Труды ММО, 2010. Т. 71. C. 200234
Щуров И. В. Schurov, I. Duck farming on the two-torus: multiple canard cycles in generic slow-fast systems

Discrete and continuous dynamical systems, 12891298, arXiv:1008.0133.
Alexey Glutsyuk, Dmitry Filimonov, Victor Kleptsyn,

Supplement 2011

[6]

On the adjacency quantization in the equation modelling the Josephson eect. To appear in Functional Analysis and Its Applications. arXiv:1301.7159 [math.DS]
Ilya Schurov.

[7]

Эффект Джозефсона и быстромедленные системы // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. 2013. Т. 8. 1. С. 31-46.
Клепцын В. А., Ромаскевич О. Л., Щуров И. В.

4