Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2013/Program2/Panov_summary.pdf Дата изменения: Mon Oct 7 22:17:04 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 14:02:00 2016 Кодировка: Windows-1251

МНОГООБРАЗИЯ С ДЕЙСТВИЕМ ТОРА: ТОПОЛОГИЯ, КОМПЛЕКСНАЯ И ЛАГРАНЖЕВА ГЕОМЕТРИЯ. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЗАЯВКИ

Проект посвящен исследованиям по топологии, комплексной и симплектической геометрии пространств с действием тора. Данный проект будет реализован в рамках исследований по торической топологии новой активно развивающейся области на стыке эквивариантной топологии, симплектической и алгебраической геометрии и комбинаторики. Объектом исследования являются момент-угол-многообразия, а также связанные с ними классы многообразий с действием тора торические и квазиторические многообразия. Момент-угол-комплексы ZK представляют собой пространства с действием тора, параметризуемые конечными симплициальными комплексами K . Они являются одними из основных объектов исследования в торической топологии, а также приобретают вс? больший интерес в теории гомотопий. Благодаря их комбинаторному происхождению, момент-уголкомплексы находят приложения в комбинаторной геометрии и коммутативной алгебре. Конструкция момент-угол комплекса ZK восходит к работе ДэвисаЯнушкевича по квазиторическим многообразиям; позднее ZK был описан Бухштабером и Пановым как некоторый комплекс, построенный из полидисков и торов, а также как дополнение конфигурации координатных подпространств (с точностью до гомотопии). В случае, когда K триангуляция сферы, ZK является топологическим многообразием, называемым момент-уголмногообразием. Триангуляции, двойственные к простым многогранникам P , предоставляют важный класс триангуляций сфер; соответствующие момент-угол-многообразия являются гладкими и обозначаются ZP . Многообразия ZP , соответствующие многогранникам Дельзанта, тесно связаны с конструкцией гамильтоновых торических многообразий при помощи симплектической редукции: ZP возникает как множество уровня отображения моментов и вкладывается в Cm как невырожденное пересечение вещественных квадрик. Топология пространств ZK и многообразий ZP достаточно сложна даже для малых K и P . Кольцо когомологий ZK было описано Бухштабером и Пановым. Позднее разными авторами были описаны явные гладкие и гомотопические типы некоторых конкретных семейств ZK и ZP . С другой стороны, многообразия, получаемые как пересечения квадрик, возникали в голоморфной динамике как пространства листов голоморфных слоений в Cm . Их изучение привело к открытию нового класса компактных некэлеровых комплексных многообразий в работах Лопеса де МедраноВерховского и Мерсмана, ныне известных как LVMмногообразия. Как было обнаружено Босио и Мерсманом, гладкие многообразия, соответствующие широкому классу LVM-многообразий, представляют собой в точности моментугол-многообразия ZP . Тем самым многообразия ZP приобретают некэлеровы комплексные структуры, обобщающие известные семейства многообразий Хопфа и КалабиЭкмана. Исследования будут сосредоточены на следующих аспектах момент-угол-многообразий. Топология. Ожидается получение новых результатов о топологии момент-угол-комплексов и многообразий как геометрическими, так и гомотопическими методами. В частности, используя высшие скобки Уайтхеда, планируется получить описание гомотопического типа ZK для серий нефлаговых комплексов и многогранников. Комплексная геометрия. Описание мероморфных функций, дивизоров и общих подмногообразий в некэлеровых момент-угол-многообразиях, вычисление и комбинаторная трактовка их чисел Ходжа. Лагранжева геометрия. Построение новых примеров гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий в комплексных проективных пространствах и торических многообразиях и исследование геометрии связанных с ними интегрируемых гамильтоновых систем. Момент-угол-комплексы ZK и связанные с ними торические пространства соединяют такие области, как комбинаторная геометрия, коммутативная и гомологическая алгебра, комплексная и лагранжева геометрия. Любое существенное продвижение в понимании топологии и геометрии ZK сразу привед?т к обширным приложениям в этих областях.

Часть 3 заявки Т. Е. Панова на конкурс фонда ?Династия?.