Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2013/reports/Avdeev_Report_2015.pdf Дата изменения: Sun Dec 27 15:11:06 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:46:44 2016 Кодировка: Windows-1251

Отч?т по гранту фонда ?Династия? за 2015 год

Авдеев Роман Сергеевич
1. Результаты, полученные в 2015 году

В этом году изучались пространства модулей аффинных сферических многообразий с фиксированной полугруппой старших весовF Пусть G " связная редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем k нулевой характеристикиF Всякое GEмногообразие @то есть алгебраическое многоE образиеD снабж?нное регулярным действием группы GAD обладающее плотной @а значитD открытойA орбитой для индуцированного действия борелевской подгруппы B GD наE зывается сферическимF В частном случаеD когда G " торD сферические GEмногообразия хорошо известны под названием торические многообразияF Согласно известному результату Винберга и Кимельфельда IWUV годаD неприводимое аффинное GEмногообразие является сферическим тогда и только тогдаD когда естественное представление группы G в пространстве k[X ] регулярных функций на X имеет простой спектрD то есть всякое неприводимое представление группы G входит в k[X ] с кратностью не выше 1F Важнейшим инвариантом аффинного сферического GEмногообразия X являE ется его полугруппа старших весов X D состоящая из тех доминантных весов группы GD для которых k[X ] содержит неприводимое представление группы G со старшим весом F Ещ? один инвариант аффинного сферического GEмногообразия X происходит из кольE цевой структуры алгебры k[X ]F Для каждого X обозначим через k[X ] подпространE ство в k[X ]D в котором реализуется неприводимое представление группы G со старшим весом F Обозначим через X полугруппуD порожд?нную всеми элементами вида + ч - D для которых k[X ] ћ k[X ]ч k[X ] F Полугруппа X называется корневой полугруппой мноE гообразия X F В IWWT году Кноп доказалD что насыщение sat полугруппы X @то есть X полугруппаD равная пересечению группыD порожд?нной X D и выпуклого конусаD натянуE того на X A свободноF Обозначим через X @конечныйA базис полугруппы sat F X Пусть " произвольная подполугруппа полугруппы старших весов группы GF ЗафикE сируем максимальный тор T G и обозначим через Tad соответствующий присоедин?нный торD то есть факторгруппу тора T по центру группы GF В PHHS году Алексеев и Брион построили аффинную схему M конечного типаD снабж?нную действием группы Tad и обE ладающую следующими свойствамиX @IA Tad Eорбиты в M находятся в биекции с аффинными сферическими GEмногообразиE ями @рассматриваемыми с точностью до GEэквивариантного изоморфизмаA с полуE группой старших весов Y @PA M содержит единственную Tad Eнеподвижную замкнутую точку @обозначим е? чеE рез X0 AY @QA для всякого аффинного сферического GEмногообразия X с условием X = заE мыкание соответствующей Tad Eорбиты в M является аффинным торическим Tad E многообразием с полугруппой старших весов X F

I


G-многообразий с F В нашем совместном проекте со СтF КюпитEФуту @F gupitEpoutouA изучается пространE ? ? ство M в предположенииD что полугруппа насыщенна @то есть является пересечением реш?тки с конечно порожд?нным выпуклым конусомAF На геометрическом языке условие насыщенности означаетD что всякое аффинное сферическое GEмногообразие с X = является нормальнымF В начале PHIS года мы занимались ревизией и подготовкой к сдаче в печать нашего препринта yn the irreduile omponents of moduli shemes for 0ne spheril vrieties @arXiv:1406.1713v2AD включавшего помимо прочего следующие результатыX
пространством модулей аффинных сферических полугруппой старших весов

Схема M называется

@IA полное описание структуры Tad Eмодуля в касательном пространстве TX0 M к M в Tad Eнеподвижной точке X0 в терминах полугруппы Y @PA для всякого нормального аффинного сферического GEмногообразия X его корневая полугруппа X совпадает с sat и тем самым свободнаF X Содержавшиеся в препринте доказательства результатов @IA и @PA опирались на целый ряд известных фактов из теории сферических многообразийF Однако в процессе ревизии стало ясноD что @IA и @PA можно доказатьD обойдясь значительно меньшим набором используемых средствF А именноD достаточно только базовых фактов о пространстве M из работы Алексеева и Бриона и упоминавшегося выше результата Кнопа о свободности полугруппы sat F Это привело к переосмыслению и кардинальному изменению идеологии X и структуры нашей работыD а также к существенному расширению е? содержанияF При помощи @IA нам удалось получить принципиально новые доказательства следующих изE вестных результатов из теории сферических многообразийX @pIA теорема единственности для нормальных аффинных сферических GEмногообразийX с точностью до GEэквивариантного изоморфизмаD всякое нормальное аффинное сфеE рическое GEмногообразие однозначно определяется парой (X , X AY @pPA теорема единственности для сферических однородных пространств @формулировка опущена ввиду е? громоздкостиAY @pQA с точностью до GEэквивариантного изоморфизмаD существует лишь конечное чисE ло аффинных сферических GEмногообразий с любой напер?д заданной полугруппой старших весовF Результаты @pIA и @pPA были впервые получены ИF Лосевым в PHHW годуD а результат @pQA " Алексеевым и Брионом в PHHS году @в той же работеD где было введено пространство M AF Кроме тогоD нам удалось распространить результат @pIA на произвольные @не обязательно нормальныеA аффинные сферические GEмногообразияF Результаты @IAD @PAD а также новые доказательства результатов @pIA!@pQA составиE ли основу статьи PF По материалам препринта arXiv:1406.1713v2D не вошедшим в PD готовится отдельная статьяF

P


2. Публикации в 2015 году

I F evdeevD Strongly solvable spherical subgroups and their wthemtiF xew eries 21 @PHISAD noF QD WQI!WWQF hysX 10.1007/s00029-015-0180-3 erivX 1212.3256 [math.GR] P F evdeevD F gupitEpoutouD preprintD PHISD RR ppF Сдано в печатьF

combinatorial invariants

D elet

New and old results on spherical varieties via moduli theory

D

erivX 1508.00268 [math.AG]

3. Участие в конференциях и школах, доклады на семинарах

IF Доклад ?he moduli sheme of 0ne spheril vrieties with given weight monoid?D eminr on elgerD qeometryD nd hysisD wxElnk snstitute for wthemtisD БоннD ГерманияD T января PHIS гF PF Доклад ?he moduli sheme of 0ne spheril vrieties with given weight monoid?D yerseminr elgerD wthemtishes snstitutD niversit? zu u? К?льнD ГерманияD t olnD IQ января PHIS гF QF Доклад ?Пространство модулей аффинных сферических многообразий с фиксироE ванной полугруппой старших весов?D семинар ?Группы Ли и теория инвариантов?D МГУD МоскваD IV и PS февраля PHIS гF RF Доклад ?Пространства модулей в теории сферических многообразий?D конференция ?Встреча поколений?D НМУD МоскваD W!II июня PHIS гF SF Доклад ?Пространства модулей аффинных сферических многообразий с фиксироE ванной полугруппой старших весов?D Пятая школаEконференция ?Алгебры ЛиD алE гебраические группы и теория инвариантов?D СамараD PP!PU июня PHIS гF
4. Работа в научных центрах и международных группах

Занимался научной работой в Математическом институте Макса Планка @БоннD ГерE манияA с I по PQ января PHIS годаF
5. Педагогическая деятельность

В REм модуле PHIRGPHIS учебного года @с апреля по июньA читал лекции и в?л семинарE ские занятия по курсу ?Алгебра? на IEм курсе направления ?Прикладная математика и информатика? факультета компьютерных наук НИУ ВШЭF В REм модуле PHIRGPHIS учебного года @с апреля по июньA в?л семинарские занятия по курсу ?Теория алгоритмов? на PEм курсе направления ?Фундаментальная информатика и информационные технологии? МИЭМ НИУ ВШЭF Q


В IEP модулях PHISGPHIT учебного года @с сентября по декабрьA читал лекции и в?л семинарские занятия по курсу ?Линейная алгебра и геометрия? на IEм курсе направления ?Прикладная математика и информатика? факультета компьютерных наук НИУ ВШЭF На протяжении всего года @за исключением летних каникулA в?л уроки математичеE ского анализа в математическом классе школы IUW МИООF

R