Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/albufetov.htm
Дата изменения: Mon Jul 28 09:47:10 2014
Дата индексирования: Sun Apr 10 12:30:38 2016
Кодировка: UTF-8
Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban
Dubna-2014: Ал.И. Буфетов
на главную страницу ЛШСМ-2014 к списку курсов ЛШСМ-2014

Алексей Игоревич Буфетов

RSK-алгоритм и симметрические многочлены

А. И. Буфетов планирует провести 4 занятия.

В последнее время комбинаторика диаграмм Юнга и теория симметрических многочленов вызывает дополнительный интерес из-за ряда новых приложений в теории случайных матриц, теории представлений и задачах математической физики. Основная цель курса — дать комбинаторное введение в этот круг вопросов. В качестве приложений мы ответим, в частности, на следующие вопросы:

  1. Почему любая последовательность различных натуральных чисел длины $kl+1$ имеет либо возрастающую подпоследовательность длины $k+1$, либо убывающую подпоследовательность длины $l+1$?
  2. Сколько существует последовательностей фиксированной длины из чисел $1,\ldots,k$, таких что длина максимальной возрастающей подпоследовательности равна фиксированному числу $m$?
  3. Пусть у нас есть площадь (прямоугольник со сторонами $K$ и $L$) и $N$ кубиков. Сколькими способами мы можем построить на этой площади мавзолей? Симметричный мавзолей?

Программа курса

  1. Стандартные и полустандартные таблицы Юнга. Алгоритм Робинсона-Шенстеда. Биекция между словами и парами таблиц. Длина максимальной возрастающей подпоследовательности в слове. Теорема Грина (интерпретация длин строк и столбцов в терминах возрастающих и убывающих подпоследовательностей).
  2. Алгоритм Робинсона-Шенстеда-Кнута (RSK). Биекция с парами полустандартных таблиц. Эквивалентность слов по Кнуту. $^\ast$Симметрия. $^\ast$Дуальный RSK. $^\ast$Диаграммы роста.
  3. Симметрические многочлены. Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены. Многочлены Шура. Числа Костки. Тождество Коши. Теоремы о связи различных наборов многочленов.
  4. Вычисление многочлена Шура в единицах и в геометрической прогрессии. Число стандартных и полустандартных таблиц, формула крюков, число плоских разбиений, формула Мак-Магона. $^{\ast\ast}$Представления симметрической группы.

$^\ast$ — программа «с превышением»;
$^{\ast\ast}$ — будет разобрано в виде ряда задач.

Для понимания курса не требуется никаких знаний, выходящих за рамки программы 9-го класса.

Основной акцент будет сделан на комбинаторные приложения, в то время как связь с представлениями симметрической группы будет разобрана в виде ряда задач для слушателей, знакомых с основами теории представлений конечных групп.

Материалы