Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2010/notes/bufetov/list_01.pdf Дата изменения: Sun Jul 18 23:14:50 2010 Дата индексирования: Sun Sep 12 17:01:36 2010 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

Листок 1 Диаграммы Юнга, ортогональные полиномы и случайные матрицы

(А.И. Буфетов, Н.Е. Козин)

1.

Докажите неравенство:

n e

n

< n! <

n+1 e

n+1

.

Указание: используйте индукцию. Пусть 0 < p < 1. Для всякого > 0 найдутся > 0 и n0 > 0, зависящие лишь от и p, такие что для всякого n > n0 и k , удовлетворяющих
2.

k - p > , n
выполнено

n! pk (1 - p)n k !(n - k )!

-k

e

-n

.

Пусть 2 (n) = {0, 1}n есть множество всех двоичных слов длины n. Возьмем p (0, 1) и определим вероятность слова w 2 (n) формулой
3.

P (w) = p

N0 (w)

ћ (1 - p)N1

(w )

,

где N0 (w) число нулей в слове w, а N1 (w) число единиц в слове w. a) Проверьте что

P (w) = 1.
w2 (n)

б) Возьмем > 0 и определим множество

2 (n, ) =

w 2 (n) :

N0 (w) -p > . n

Убедитесь, что для всякого > 0 выполнено
n

lim P (2 (n, )) = 0.

Замечание.

P (2 (n, )) =
w2 (n,)

P (w).

в) Проверьте, что в действительности вероятность P (2 (n, )) убывает экспоненциально.