Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2013/notes/kconrad-problems1.pdf Дата изменения: Sat Jul 27 10:17:38 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:33:36 2016 Кодировка: Поисковые слова: m 8

AB C - , 2013 . 1. AB C - Z+ , c = rad(abc) ?

. 2 (1, 1, 2).

2. 12 AB C - Z+ , rad(abc) = 30. . 3. AB C - max(|a|, |b|, |c|) < rad(abc)2 . , , , n 6. ( n < 6 : n = 3 , n = 4 , n = 5 .) 4. , AB C -, , (, ): · > 0 (a, b, c) Z+ , a+b = c (a, b) = 1, , c < rad(abc)1+ . · > 0 (a, b, c) Z - {0}, a + b = c (a, b) = 1, , max(|a|, |b|, |c|) < rad(abc)1+ . : 5 - 32 = -27 5 + 27 = 32. 5. max(|a|, |b|, |c|) rad(abc)1+ AB C -
n

max(|a|, |b|, |c|) . rad(abc)1+
n

a = 1, b = 32 - 1, c = 32 n, , , 0.


: , a, b, c, rad(abc) < 3c/2n+1 . c n. 6. . (1) > 0, (a, b, c) Z - {0}, a + b = c (a, b) = 1, , max(|a|, |b|, |c|) < rad(abc)1+ . ( .) (2) > 0 > 0, a + b = c (a, b) = 1, max(|a|, |b|, |c|) rad(abc)1+ . ( .) (3) m 1 rad(abc) = m AB C - (a, b, c). AB C - . , (3) (1) (2). (1) (3), (2) (3). 7. n 3 d, k Z - {0} , AB C - , xn - dy n = k (x, y ). n = 3 . , x = 0 y = 0. : AB C - < n/2 - 1. 8. k m, n 2, 2 (.., (m, n) = (2, 2)). a) , AB C - , > 0 C,m,n > 0, (x, y ) y n = xm + k : |x| C
,m,n

k

1/m 1-1/m-1/n

(1+)

,

|y | C

,m,n

k

1/n 1-1/m-1/n

(1+)

.

, x = 0 y = 0, AB C - x y , y 2 = x3 + k .


) , (x, y ) y n = xm + k k : > 0 C,m,n > 0, |x| C
,m,n

| rad k |

1/m 1-1/m-1/n

(1+)

,

|y | C

,m,n

| rad k |

1/n 1-1/m-1/n

(1+)

.

9. a, b k , m, n 2, 2 (.., (m, n) = (2, 2)). AB C -, > 0 axm + by n = k a, b, m, n k : |x| C
,m,n,a,b

|k |

1/m 1-1/m-1/n

(1+)

,

|y | C

,m,n,a,b

|k |

1/n 1-1/m-1/n

(1+)

C,m,n,a,b , k , , x y , rad k k . . 10. max(|a|, |b|, |c|) < rad(abc)1+ AB C - , ln max(|a|, |b|, |c|) < 1 + . ln rad(abc) AB C - (a, b, c), Q(a, b, c). , Q(23, 25, 48) = ln(48) 0, 59226, ln(690) Q(3, 125, 128) = ln(128) 1, 42657. ln(30)

a) , ABC- , t > 1 AB C - (a, b, c) , t. , AB C -, 1, AB C - , AB C . AB C - . , , (Eric Reyssat) 1987 . 2, , max(|a|, |b|, |c|) < rad(abc)2


AB C -. a 2 112 19 · 1307 283 1 b 3 · 109 32 · 56 · 73 7 · 292 · 318 511 · 132 2 · 37
10

c 235 21 2 · 23 8 2 · 322 · 54 28 · 38 · 173 54 · 7

1.6299 1.6259 1.6234 1.5807 1.5678

) , a = 1, b = 32 - 1, n c = 32 , , lim S 1, S = {Q(a, b, c) : (a, b, c) = AB C -} lim "lim sup". , AB C - lim S = 1. 11. k (t) C[t]. , , f (t), g (t) C[t], g (t)2 = f (t)3 + k (t), deg f 2(deg k - 1). - , f (t) g (t) . a) , ­ , deg f 2(deg k - 1) deg g 3(deg k - 1)

n

f g . , AB C - . ) f g , deg f 2(deg rad k - 1), k rad k . deg g 3(deg rad k - 1),


c) deg f deg g , g 2 = f 3 + k k Cв ? 12. m n , 2 2 (.., m 2, n 2, (m, n) = (2, 2)). a) g n = f m + k C[t], f , g , k . ­, , deg f 1/m (deg k - 1), 1 - 1/m - 1/n deg g 1/n (deg k - 1). 1 - 1/m - 1/n

) (f , g ) = 1, deg f 1/m 1/n (deg rad k - 1), deg g (deg rad k - 1). 1 - 1/m - 1/n 1 - 1/m - 1/n

, 8. m = 3 n = 2, 11.