Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/exam/kn_uch/book1v2c.htm
Дата изменения: Mon Mar 24 14:53:10 2003
Дата индексирования: Tue Oct 2 10:06:25 2012
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: m 5

Книга для учителя	МЦНМО 2003

Назад | Оглавление | § 3

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 2. Тригонометрические выражения
Продолжение

Следующие задачи связаны со сравнением значений двух тригонометрических выражений или сравнением значения тригонометрического выражения с нулем.

1.4.A04

б) Найдите знак числа

tan

46p

tan

ж
и

136p

ц
ш

Решение. Воспользуемся формулами приведения и заменим углы

46p

136p

соответственно углами первой четверти.

tan

46p

=tan

ж
и

9p+

ц
ш

=tan

> 0

tan

ж
и

136p

ц
ш

=-tan

ж
и

19p+

ц
ш

=-tan

< 0

Ответ:

tan

46p

tan

ж
и

136p

ц
ш

< 0

Следующая задача интересна тем, что для ее решения нет необходимости использовать формулу преобразования произведения двух тригонометрических функций в сумму (хотя она может быть решена и с использованием этой формулы).

1.4.B08

а) Сравните числа cos14^њ cos74^њ и

Решение. 0 < cos74^њ < cos60^њ; 0 < cos14^њ < 1. Следовательно, cos14^њ cos74^њ < cos60^њ, т. е.

cos14^њ cos74^њ <

Ответ:

cos14^њ cos74^њ <

1.4.B09

б) Сравните числа

sin²6^њ +cos²9^њ и cos²6^њ +sin²9^њ.

Решение. Составим разность данных чисел:

sin²6^њ +cos²9^њ-cos²6^њ -sin²9^њ=cos²9^њ -sin²9^њ -

ж
и

cos²6^њ -sin²6^њ

ц
ш

=cos18^њ -cos12^њ

. Так как cos18^њ < cos12^њ , то разность меньше нуля. Поэтому sin²6^њ +cos²9^њ < cos²6^њ +sin²9^њ .

Ответ:

sin²6^њ +cos²9^њ < cos²6^њ +sin²9^њ.

Заметим, что ответ можно получить иначе, воспользовавшись тем, что sin²6^њ < sin²9^њ, cos²9^њ < cos²6^њ.

1.4.C01

б) Сравните числа

sin256^њ

16sin16^њ

и cos16^њ cos32^њ cos64^њ cos128^њ.

Решение. Составим разность данных чисел:

sin256^њ

16sin16^њ

-cos16^њ cos32^њ cos64^њ cos128^њ\fbrb =

sin256^њ -16sin16^њ cos16^њ cos32^њ cos64^њ cos128^њ

16sin16^њ

sin256^њ -8sin32^њ cos32^њ cos64^њ cos128^њ

16sin16^њ

sin256^њ -4sin64^њ cos64^њ cos128^њ

16sin16^њ

sin256^њ -2sin128^њ cos128^њ

16sin16^њ

sin256^њ -sin256^њ

16sin16^њ

Ответ:

данные числа равны.

1.4.C02

а) Сравните числа

sin12^њ +sin10^њ

sin12^њ -sin10^њ

tan11^њ

tan1^њ

Решение.

sin12^њ +sin10^њ

sin12^њ -sin10^њ

2sin11^њ cos1^њ

2sin1^њ cos11^њ

tan11^њ

tan1^њ

Ответ:

данные числа равны.

1.4.C12

б) Сравните

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

и 1,04.

Решение. Из неравенства

-1 ? sin

ж
и

tan

ц
ш

? 1

следует, что

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

? sin²

ж
и

tan

ц
ш

Из неравенства

-1 ? cos

ж
и

tan

ц
ш

? 1

следует, что

cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

? cos²

ж
и

tan

ц
ш

Поэтому,

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

? sin²

ж
и

tan

ц
ш

+cos²

ж
и

tan

ц
ш

, т. е.

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

? 1

Значит,

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

< 1,04

Ответ:

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

< 1,04

Завершим обзор задач на преобразование тригонометрических выражений и вычисление их значений двумя упражнениями, при решении которых используются свойства арифметической и геометрической прогрессий.

1.4.D08

а) Найдите tan70x, если числа sin2x, sin7x, sin12x являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Из условия задачи следует соотношение 2sin7x=sin2x+sin12x. Преобразуем полученное равенство:

2sin7x=sin2x+sin12x Ы 2sin7x=2sin7xcos5x Ы 2sin7x(1-cos5x)=0 Ы

й
к
к
к
л

sin7x=0,

cos5x=1.

Поэтому

й
к
к
к
л

7x=pn,

5x=2pn,n О Z,

откуда

й
к
к
к
л

70x=10pn,

70x=28pn,n О Z.

Следовательно, tan70x=0.

Ответ:

1.4.D10

б) Найдите tan20x, если числа sin4x, sin8x, sin12x являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Из условия задачи следует соотношение

sin²8x=sin4xsin12x.

Преобразуем полученное равенство: sin²8x=sin4xsin12x Ы

1-cos16x

(cos8x-cos16x)

Ы cos8x=1.

Следовательно, 8x=2pn,n О Z. Значит, 4x=pn,n О Z.

Поэтому tan20x=tan5pn=0.

Ответ:

Назад | Оглавление | § 3

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.