|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/free-books/konkurs2003.html
Дата изменения: Fri Nov 27 15:08:38 2009 Дата индексирования: Sun Feb 3 04:46:12 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php |
Большая часть этих задач предлагалась Э.Б.Винбергом студентам НМУ весной 1993 года.
Победители конкурса будут награждены математической литературой (в том числе и с дарственными надписями авторов). При определении победителей будут учитываться в первую очередь наиболее простые и красивые решения. Срок представления решений - 15 сентября 2003 г. Участниками конкурса могут быть школьники и студенты первого курса.
Работы следует присылать по адресу 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д.11, к.202 (с пометкой "На конкурс Математического просвещения").
(Условия задач приводятся в TeX'овской записи. Если есть сомнения в правильности понимания условий, возьмите PostScript или PDF файл.)
1. Доказать, что всякий пятигранный выпуклый конус в трехмерном евклидовом пространстве можно линейным преобразованием привести к такому виду, чтобы каждое ребро было перпендикулярно противоположной грани.
2. Указать конечное число троек подпространств пространства $K^n$, обладающее тем свойством, что для любого $n$-мерного пространства $V$ над полем $K$ и любой его тройки подпространств $V_1, V_2, V_3$ найдется изоморфизм $V\rightarrow K^n$, отображающий $V_1, V_2, V_3$ на подпространства одной из указанных троек.
3. Доказать, что не существует более чем $\left[n^2/4\right]+1$ линейно независимых матриц порядка $n$, перестановочных между собой.
4. Функция $f(x,y)$ двух действительныx переменных является многочленом от $x$ при любом фиксированном $y$ и многочленом от $y$ при любом фиксированном $x$. Доказать, что $f$ --- многочлен от двух переменных.
5. Пусть $\A$ --- такой линейный оператор в эрмитовом пространстве, что матричные элементы оператора $(\exp\ t\A^*)(\exp\ t\A)$ суть многочлены от $t$. Доказать что пространство $V$ может быть разложено в ортогональную сумму $A$-инвариантных подпространств таким образом, что ограничение оператора $A$ на каждое из этих подпространств есть сумма нильпотентного оператора и оператора умножения на чисто мнимое число.
6. Пусть $\alpha$ и $\beta$ --- движения $n$-мерного евклидова пространства, удовлетворяющие условиям $\alpha^3\beta^3=(\alpha\beta)^2=id$. Доказать, что $\alpha$ и $\beta$ имеют общую неподвижную точку или общую инвариантную прямую.
7. Назовем тройку $(A,B,C)$ квадратных матриц 3-го порядка абсолютно
вырожденной, если любая их линейная комбинация вырожденна. Доказать,
что с помощью преобразования вида $$(A,B,C)\mapsto(UAV,UBV,UCV),$$
где $U$ и $V$~--- невырожденные матрицы,
любую абсолютно вырожденную тройку можно привести к виду,
удовлетворяющему одному из трех условий:
1) первый столбец всех трех матриц нулевой;
2) левый нижний угол размера $2\times2$ всех трех матриц
нулевой;
3) последняя строка всех трех матриц нулевая;
4) все три матрицы кососимметрические.