Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl14s3.htm
Дата изменения: Wed Aug 4 15:18:53 2004
Дата индексирования: Sat Dec 22 17:45:03 2007
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: массу
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

Глава 14. § 2 | Оглавление | Глава 14. § 4

§ 3. Момент инерции

Величину IM = m1MX12 + ? + mnMXn2 называют моментом инерции системы точек X1, ?, Xn с массами m1, ?, mn относительно точки M.

14.19.
Пусть O - центр масс системы точек, суммарная масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки O и произвольной точки X связаны соотношением IX = IO + mXO2.
14.20.
а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен
1

n

е
i < j
aij2

, где n - число точек, aij - расстояние между точками с номерами i и j.
б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами m1, ?, mn, равен
1

m

е
i < j
mi mj aij2

, где m = m1 + ? + mn, aij - расстояние между точками с номерами i и j.

14.21.
а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX2 = BX2 + CX2.
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный.

14.22.
Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, H - точка пересечения высот. Докажите, что a2 + b2 + c2 = 9R2 - OH2.
14.23.
Хорды AA1, BB1 и CC1 окружности с центром O пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA1) + (BX/XB1) + (CX/XC1) = 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром OM, где M - центр масс треугольника ABC.
14.24*.
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A1 и B2, B1 и C2, C1 и A2, что отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA1 ћ PA2 + PB1 ћ PB2 + PC1 ћ PC2 = R2 - OP2, где O - центр описанной окружности.
14.25*.
Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n2R2.
14.26*.
Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть da, db и dc - расстояния от точки P до сторон треугольника, Ra, Rb и Rc - расстояния от нее до вершин. Докажите, что
3(da2 + db2 + dc2) ? (Rasin A)2 + (Rb sin B)2 + (Rc sin C)2.
14.27*.
Точки A1, ?, An лежат на одной окружности, а M - их центр масс. Прямые MA1, ?, MAn пересекают эту окружность в точках B1, ?, Bn (отличных от A1, ?, An). Докажите, что MA1 + ? + MAn ? MB1 + ? + MBn.

Глава 14. § 2 | Оглавление | Глава 14. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100