Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
§ 3. Момент инерции
Величину IM = m1MX12 + ? + mnMXn2 называют моментом
инерции системы точек X1, ?, Xn с массами m1, ?, mn
относительно точки M.
-
14.19.
-
Пусть O - центр масс системы точек, суммарная
масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции
этой системы относительно точки O и произвольной точки X
связаны соотношением IX = IO + mXO2.
-
14.20.
-
а) Докажите, что момент инерции относительно
центра масс системы точек с единичными массами равен
, где n - число точек,
aij - расстояние между точками с номерами i и j.
б) Докажите, что момент инерции относительно центра
масс системы точек с массами m1, ?, mn, равен
, где m = m1 + ? + mn,
aij - расстояние между точками с номерами i и j.
-
14.21.
-
а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких
точек X, что AX2 = BX2 + CX2.
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный
треугольник относительно треугольника ABC
прямоугольный.
-
14.22.
-
Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC,
H - точка пересечения высот. Докажите, что
a2 + b2 + c2 = 9R2 - OH2.
-
14.23.
-
Хорды AA1, BB1 и CC1 окружности с центром O
пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA1) + (BX/XB1) + (CX/XC1) = 3
тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром
OM, где M - центр масс треугольника ABC.
-
14.24*.
-
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты
такие точки A1 и B2, B1 и C2, C1 и A2, что
отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны сторонам
треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA1 ћ PA2 + PB1 ћ PB2 + PC1 ћ PC2 = R2 - OP2, где O - центр
описанной окружности.
-
14.25*.
-
Внутри окружности радиуса R расположено n точек.
Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между
ними не превосходит n2R2.
-
14.26*.
-
Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть da, db
и dc - расстояния от точки P до сторон треугольника,
Ra, Rb и Rc - расстояния от нее до вершин. Докажите, что
3(da2 + db2 + dc2) ? (Rasin A)2 + (Rb sin B)2 + (Rc sin C)2. |
|
-
14.27*.
-
Точки A1, ?, An лежат на одной окружности, а M -
их центр масс. Прямые MA1, ?, MAn пересекают эту
окружность в точках B1, ?, Bn (отличных от A1, ?, An).
Докажите, что MA1 + ? + MAn ? MB1 + ? + MBn.