Глава 18. § 2 |	Оглавление |	Глава 18. § 4

§ 3. Повороты на произвольные углы

18.26.

Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окружности S такие точки C и D, что AC||BD и дуга CD имеет данную величину a.

18.27.

Поворот с центром O переводит прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁, лежащую на прямой l₁, - в точку A₂. Докажите, что точка пересечения прямых l₁ и l₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁OA₂.

18.28.

На плоскости лежат две одинаковые буквы G. Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A?. Длинные палочки разбиты на n равных частей точками A₁, ?, A_{n - 1}; A₁?, ?, A_{n - 1}? (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AA_i и A?A_i? пересекаются в точке X_i. Докажите, что точки X₁, ?, X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

18.29.

По двум прямым, пересекающимся в точке P, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой - точка A, по другой - точка B. Через точку P они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.

18.30.

Треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC поворотом на угол a (a < 180њ) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ (или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

18.31^*.

Дан треугольник ABC. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр.

18.32^*.

На векторах

R AiBi

, где i = 1, ?, k, построены правильные одинаково ориентированные n-угольники A_iB_iC_iD_i? (n ? 4). Докажите, что k-угольники C₁?C_k и D₁?D_k правильные одинаково ориентированные тогда и только тогда, когда k-угольники A₁?A_k и B₁?B_k правильные одинаково ориентированные.

18.33^*.

Докажите, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

18.34^*.

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Глава 18. § 2 |	Оглавление |	Глава 18. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.