Глава 18. § 3 |	Оглавление |	Глава 18. Задачи для самостоятельного решения

§ 4. Композиции поворотов

18.35.

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360њ, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360њ.

18.36.

На сторонах произвольного выпуклого четырехугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.

18.37.

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

18.38.

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах треугольника PQR внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника ABC.

18.39.

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO₁, BCO₂, CDO₃ и DAO₄. Докажите, что если O₁ = O₃, то O₂ = O₄.

18.40^*.

а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.

в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.

18.41^*.

На сторонах треугольника ABC построены правильные треугольники A?BC и B?AC внешним образом, C?AB - внутренним, M - центр треугольника C?AB. Докажите, что A?B?M - равнобедренный треугольник, причем РA?MB? = 120њ.

18.42^*.

Пусть углы a, b, g таковы, что 0 < a, b, g < p и a + b + g = p. Докажите, что если композиция поворотов R_C^2g њ R_B^2b њ R_A^2a является тождественным преобразованием, то углы треугольника ABC равны a, b, g.

18.43^*.

Постройте n-угольник, если известны n точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого n-угольника и имеющих при вершинах углы a₁, ?, a_n.

18.44^*.

На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены равнобедренные треугольники A?BC, AB?C и ABC? с вершинами A?, B? и C? и углами a, b и g при этих вершинах, причем a + b + g = 2p. Докажите, что углы треугольника A?B?C? равны a/2, b/2, g/2.

18.45^*.

Пусть AKL и AMN - подобные равнобедренные треугольники с вершиной A и углом a при вершине; GNK и G?LM - подобные равнобедренные треугольники с углом p - a при вершине. Докажите, что G = G?. (Треугольники ориентированные.)

18.46^*.

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки P, Q и R соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников APR, BPQ и CQR образуют треугольник, подобный треугольнику ABC.

Глава 18. § 3 |	Оглавление |	Глава 18. Задачи для самостоятельного решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.