Глава 10. § 12 |	Оглавление |	Глава 10. Задачи для самостоятельного решения

§ 13. Неравенства в треугольниках

10.86.

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что NO ? 2MO.

10.87.

Докажите, что если треугольник ABC лежит внутри треугольника A?B?C?, то r_ABC < r_A?B?C?.

10.88.

В треугольнике ABC сторона c наибольшая, а a наименьшая. Докажите, что l_c ? h_a.

10.89.

Медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC перпендикулярны. Докажите, что ctg A + ctg B ? 2/3.

10.90.

Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основанием AC проведена окружность, касающаяся стороны BC в точке M и пересекающая сторону AB в точке N. Докажите, что AN > CM.

10.91^*.

В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла A?

10.92^*.

В треугольнике ABC стороны равны a,b,c; соответственные углы (в радианах) равны a,b,g. Докажите, что

p 3 ? aa + bb + cg a + b + c < p 2 .

10.93^*.

Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что AOsin BOC + BOsin AOC + COsin AOB ? p.

10.94^*.

На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC за точку C взята точка D так, что CD = CB. Докажите, что угол ABD не острый.

10.95^*.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и CM. Докажите, что если AB > BC, то AM > MK > KC.

10.96^*.

На сторонах BC,CA,AB треугольника ABC взяты точки X,Y,Z так, что прямые AX,BY,CZ пересекаются в одной точке O. Докажите, что из отношений OA : OX, OB : OY,OC : OZ по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.

10.97^*.

Окружность S₁ касается сторон AC и AB треугольника ABC, окружность S₂ касается сторон BC и AB, кроме того, S₁ и S₂ касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности S.

Глава 10. § 12 |	Оглавление |	Глава 10. Задачи для самостоятельного решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.