Глава 22. § 2 |	Оглавление |	Глава 22. Решения

§ 3. Невыпуклые многоугольники

22.17.

Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?

22.18.

а) Нарисуйте многоугольник и точку O внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

22.19.

Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки O виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.

22.20.

Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим 180њ внутренним углам, не меньше 360њ.

22.21^*.

а) Докажите, что у любого n-угольника (n ? 4) есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри его.

22.22^*.

Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого n-угольника, из которых нельзя провести диагональ?

22.23^*.

Докажите, что любой n-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

22.24^*.

Докажите, что сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n - 2)180њ.

22.25^*.

Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают n-угольник, равно n - 2.

22.26^*.

Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.

22.27^*.

Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом n > 13 существует n-угольник, для которого это неверно.

22.28^*.

Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом n-угольнике?

22.29^*.

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB, где A и B - несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.

22.30^*.

Числа a₁, ?, a_n, сумма которых равна (n - 2)p, удовлетворяют неравенствам 0 < a_i < 2p. Докажите, что существует n-угольник A₁?A_n с углами a₁, ?, a_n при вершинах A₁, ?A_n.

Глава 22. § 2 |	Оглавление |	Глава 22. Решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.