Глава 3. § 9 |	Оглавление |	Глава 3. Задачи для самостоятельного решения

§ 10. Радикальная ось

3.51.

На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B. Докажите, что произведение PA ћ PB не зависит от выбора прямой.

3.52.

Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S, ее степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведенной из этой точки.

3.53.

Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d² - R², где R- радиус S, d- расстояние от точки P до центра S.

3.54^*.

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

3.55^*.

Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.

3.56^*.

На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке.

3.57^*.

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

3.58^*.

Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

3.59^*.

а) Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.

3.60^*.

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁; l- прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA₁ и BB₁. Докажите, что:

б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда AB₁ : AC = BA₁ : BC.

3.61^*.

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD- в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC,BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников ABE,CDE,ADF и BCF.

3.62^*.

Три окружности попарно пересекаются в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Докажите, что A₁B₂ ћ B₁C₂ ћ C₁A₂ = A₂B₁ ћ B₂C₁ ћ C₂A₁.

3.63^*.

На стороне BC треугольника ABC взята точка A?. Серединный перпендикуляр к отрезку A?B пересекает сторону AB в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A?C пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке A? относительно прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

3.64^*.

Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.

3.65^*.

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

3.66^*.

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA₁,BB₁ и CC₁. Прямые AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ пересекаются в точках C?,A? и B?. Докажите, что точки A?,B? и C? лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.

3.67^*.

Докажите, что диагонали AD,BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

3.68^*.

Даны четыре окружности S₁,S₂,S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1,2,3,4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

3.69^*.

а) Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности S₁ относительно окружности S₂ равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что |p| = 2dh.

Глава 3. § 9 |	Оглавление |	Глава 3. Задачи для самостоятельного решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.