Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl6s6.htm
Дата изменения: Wed Aug 4 15:18:54 2004
Дата индексирования: Sat Dec 22 17:27:51 2007
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

Глава 6. § 5 | Оглавление | Глава 6. § 7

§ 6. Правильные многоугольники

6.56.
Число сторон многоугольника A1: An нечетно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;

б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

6.57.
Все углы выпуклого многоугольника A1: An равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами. Докажите, что этот многоугольник правильный.

Рис. 6.3

6.58*. Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (рис. 6.3). Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

6.59*. На сторонах AB,BC,CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK,BCL,CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL,LM,MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.

6.60*.
Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?
6.61*.
Правильный (4k + 2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом AkOAk + 1 на прямых A1A2k,A2A2k - 1,:,AkAk + 1, равна R.
6.62*.
В правильном восемнадцатиугольнике A1: A18 проведены диагонали AaAd, AbAe и AcAf. Пусть k = a - b, p = b - c,m = c - d, q = d - e, n = e - f и r = f - a. Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
а) {k,m,n} = {p,q,r};

б) {k,m,n} = {1,2,7} и {p,q,r} = {1,3,4};

в) {k,m,n} = {1,2,8} и {p,q,r} = {2,2,3}.

Замечание. Равенство {k,m,n} = {x,y,z} означает, что указанные наборы чисел совпадают; порядок их записи при этом не учитывается.

6.63*.
В правильном тридцатиугольнике проведены три диагонали. Определим для них наборы {k,m,n} и {p,q,r} так же, как и в предыдущей задаче. Докажите, что если {k,m,n} = {1,3,14} и {p,q,r} = {2,2,8}, то диагонали пересекаются в одной точке.
6.64*.
В правильном n-угольнике (n ? 3) отмечены середины всех сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной, окружности?
6.65*.
Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки одного цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
6.66*.
Докажите, что при n ? 6 правильный (n - 1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n - 1)-угольника.

* * *


6.67.
Пусть O- центр правильного n-угольника A1: An, X- произвольная точка. Докажите, что
R
OA



1
+ : + R
OA



n
= R
0


и
R
XA



1
+ : + R
XA



n
= n R
XO


.
6.68.
Докажите, что в вершинах правильного n-угольника можно расставить действительные числа x1,:,xn, все отличные от нуля, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась нулю.
6.69.
Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1: X10, а точка B- вне его. Пусть
a = R
AX



1
+ : + R
AX



10

и
b = R
BX



1
+ : + R
BX



10

. Может ли оказаться, что |a| > |b|?
6.70.
Правильный многоугольник A1: An вписан в окружность радиуса R с центром O; X- произвольная точка. Докажите, что A1X2 + : + AnX2 = n(R2 + d2), где d = OX.
6.71.
Найдите сумму квадратов длин всех сторон и диагоналей правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R.
6.72.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X- центр n-угольника.
6.73.
Правильный n-угольник A1: An вписан в окружность радиуса R с центром O;
ei = R
OA



i
,xi = R
OX


- произвольный вектор. Докажите, что
е
(ei,x)2 = nR2 ћ OX2/2

.
6.74.
Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.
6.75.
Расстояние от точки X до центра правильного n-угольника равно d, r- радиус вписанной окружности n-угольника. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки X до прямых, содержащих стороны n-угольника, равна n(r2 + d2/2).
6.76.
Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного n-угольника на любую прямую равна na2/2, где a- сторона n-угольника.
6.77*.
Правильный n-угольник A1: An вписан в окружность радиуса R; X- точка этой окружности. Докажите, что XA14 + : + XAn4 = 6nR4.
6.78*.
а) Правильный n-угольник A1: An вписан в окружность радиуса 1 с центром O;
ei = R
OA



i

, u - произвольный вектор. Докажите, что
е
(u,ei)ei = nu/2

.
б) Из произвольной точки X опущены перпендикуляры XA1,:,XAn на стороны правильного n-угольника (или на их продолжения). Докажите, что
е
R
XA



i
= n R
XO

/2

, где O- центр n-угольника.

6.79*.
Докажите, что если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1,2,:,n, все углы которого равны.
См. также задачи 2.9, 4.59, 4.62, 6.39, 6.44, 6.48-6.50, 9.83, 9.84, 11.46, 11.48, 17.31, 18.32, 19.48, 23.8, 24.2.


Глава 6. § 5 | Оглавление | Глава 6. § 7

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100