Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl9s2.htm
Дата изменения: Wed Aug 4 15:18:55 2004
Дата индексирования: Sat Dec 22 17:32:19 2007
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
Глава 9. § 1 | Оглавление | Глава 9. § 3

§ 2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника

В задачах этого параграфа a,b и c- длины сторон произвольного треугольника.

9.6.
Докажите, что a = y + z, b = x + z и c = x + y, где x,y и z - положительные числа.
9.7.
Докажите, что a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
9.8.
При любом натуральном n из чисел an, bn и cn можно составить треугольник. Докажите, что среди чисел a,b и c есть два равных.
9.9.
Докажите, что
a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3.
9.10.
Пусть
p = a
b
 + b
c
 + c
a

и
q = a
c
 + c
b
 + b
a

. Докажите, что |p - q| < 1.
9.11*.
Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
9.12*.
Докажите, что
(a + b - c)(a - b + c)( - a + b + c) ? abc.
9.13*.
Докажите, что
a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) ? 0.
Глава 9. § 1 | Оглавление | Глава 9. § 3
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100