На главную страницу НМУ
А.Л.Городенцев (A.Gorodentsev)
Алгебра (первый курс, первый семестр) (Algebra, 1st year)
Лекции (Lecture notes)
Gzipped postscript (may be viewed directly with some versions
of ghostview)
[Лекция 1 (127K)|Лекция 2 (135K)|Лекция 11 (34K)|Лекция 12 (34K)]
Zipped postscript
[Лекция 1 (127K)|Лекция 2 (135K)|Лекция 11 (34K)|Лекция 12 (34K)]
Листки (Exercise sheets)
Gzipped postscript (may be viewed directly with some versions
of ghostview)
[Листок 1 (45K)|Листок 2 (66K)|Листок 2доп (41K)|Листок 3 (52K)
Листок 3доп (77K)|Листок 4 (44K)
Листок 5 (47K)|Листок 6 (57K)|Листок 6доп (56K)
Листок 7 (48K)|Листок 7доп (48K)]
Zipped postscript
[Листок 1 (45K)|Листок 2 (66K)|Листок 2доп (41K)|Листок 3 (52K)
Листок 3доп (77K)|Листок 4 (44K)
Листок 5 (47K)|Листок 6 (57K)|Листок 6доп (56K)
Листок 7 (48K)|Листок 7доп (48K)]
Предварительная программа
- Комбинаторика конечных множеств
- Число инъективных, сюрьективных и взаимно однозначных отображений
из одного конечного множества в другое. Разбиения и диаграммы
Юнга. Мультиномиальные коэффициенты.
- Поля, коммутативные кольца, гомоморфизмы, факторкольца и идеалы
- Поле $\CC$. Поля $\ZZ/p\ZZ$, простое подполе, характеристика,
гомоморфизм Фробениуса. Поля вида $k[x]/(f)$, присоединение корня.
Конечные поля. Примеры колец и гомоморфизмов: кольца функций,
гомоморфизмы поднятия и вычисления, многочлены и формальные ряды.
Идеалы и факторкольца. Простые и максимальные идеалы.
- Делимость в кольцах
- Простые и неприводимые элементы. Факториальные кольца, \nod.
Лемма Гаусса: кольцо многочленов над факториальным кольцом
факториально. Евклидовы кольца: $\ZZ$, $k[x]$, $\ZZ[i]$ и
$\ZZ[\o]$; евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов.
Факториальность колец $\ZZ[x]$ и $k[x_1,...,x_n]$. Прямое произведение
колец, китайская теорема об остатках.
- Векторные пространства и матрицы
- Определения и примеры векторных пространств. Линейная
зависимость, базисы, размерности, координаты. Линейные замены
базиса. Матричный формализм. Линейные оболочки и линейные
уравнения. Двойственность.
- Ориентированный объём и грассмановы многочлены
- Ориентированный объём. Полилинейные косые формы. Определители.
Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных: базисные
мономы, правила коммутирования, знак перестановки, центр
грассмановой алгебры. Блочно-диагональный вид грассмановой
квадратичной формы. Линейная замена переменных в грассмановом
многочлене: миноры и соотношения Сильвестра.
- Линейные операторы, собственные векторы и собственные значения
- Ядро, образ, двойственность, вычисление размерностей. Отыскание
собственных векторов. Характеристический многочлен. Линейная
независимость собственных векторов с разными собственными
значениями. Аннулирующий многочлен оператора. Разложение
аннулирующего многочлена на множители и разложение пространства в
прямую сумму корневых подпространств.
- Модули, матрицы и метод Гаусса над евклидовым кольцом
- Модуль над коммутативным кольцом. Образующие. Контрпримеры к
теоремам о базисе и существованию дополнительного подмодуля.
Свободные модули. Линейные отображения и матричный формализм,
алгебра матриц. Тождество Гамильтона-Кэли (над произвольным
коммутативным кольцом). Элементарные преобразования матриц и
элементарные замены базисов, диагонализация матрицы над
евклидовым кольцом элементарными преобразованиями строк и
столбцов. Строение конечно порождённых модулей над евклидовым
кольцом: взаимные базисы модуля и подмодуля, элементарные
делители и инвариантные множители, разложение модуля в сумму
свободного и циклических. Примеры: строение конечно порождённых
$\ZZ$-модулей, число элементов в факторе решётки по подрешётке.
- Формальные степенные ряды
- Формальные операции над формальными рядами: сложение, умножение,
обратимые элементы алгебры степенных рядов, интегрирование,
дифференцирование, замена переменной и её обращение. Формальные
разложения элементарных функций: рациональные функции, экспонента,
логарифм, бином с произвольным показателем, корни
$t(x)$ многочленов $f\in k[[x]][t]$.
- Алгебра симметрических функций
- Формулы Виета и результант для пары однородных бинарных форм (или
для многочленов от одной переменной). Стандартные базисы модуля
симметрических функций, их производящие ряды и свойства матриц
перехода.
