Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/f14/f14-savin-sternin-course_new.pdf Дата изменения: Mon Sep 8 19:41:33 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 09:03:00 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п

Специальный курс

Комплексная теория дифференциальных уравнений
Савин А.Ю., Стернин Б.Ю.

Цель данного спецкурса дать введение в многообещающую область математики комплексную теорию дифференциальных уравнений, т.е. теорию дифференциальных уравнений на комплексном многообразии (основы этой теории были заложены в замечательных работах Жана Лере по комплексной задаче Коши). Опишем основные черты данной теории. Во-первых, простые примеры показывают, что решения дифференциальных уравнений являются, как правило, ветвящимися функциями и, следовательно, имеют особенности в окрестности точек ветвления. Во-вторых, надо дать метод решения задач. Разумеется, в первую очередь надо рассматривать дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Аппарат решения таких задач хорошо известен в вещественной теории дифференциальных уравнений: это преобразование Фурье. В комплексной теории такое преобразование было построено Стерниным и Шаталовым. Разумеется, это преобразование является ключевым понятием комплексной теории. Преобразование Стернина и Шаталова позволяет дать явную формулу для решений уравнений с постоянными коэффициентами, а также да?т возможность качественного (асимптотического) исследования уравнений с переменными коэффициентами. Замечательным образом также оказывается, что комплексная теория дифференциальных уравнений имеет глубокие применения к вещественной теории. В первую очередь, это относится к проблеме продолжения решений эллиптических уравнений. В частности, методы, которые описываются в курсе, позволяют решать следующие важные проблемы: задачу Пуанкаре о заметании заряда внутрь, проблему оптимального синтеза антенн, исследование вычислительных алгоритмов электродинамики, задачи геофизики и др. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов. Программа

1. Вычеты Лере. Определения вычетов Лере. Точные последовательности Лере и формула

вычетов.
2. Ветвящиеся интегралы. Почему интегралы ветвятся? Общая теория. Многообразие Лан-

дау. Интегралы по относительным циклам.
3. Асимптотика ветвящихся интегралов. Ветвление циклов вокруг многообразия Ландау

(теорема ПикараЛефшеца). Теорема Лере об асимптотике.
4. Основное интегральное преобразование. Определение преобразования. Ветвящиеся

классы гомологий.

1


5. Свойства преобразования. Преобразование в функциональных пространствах. Обратное

преобразование. Коммутационные соотношения. Описание множества особенностей.
6. Задача Коши для уравнений с постоянными коэффициентами. Постановка задачи.

Решение задачи Коши.
7. Особенности решения задачи Коши. Описание особенностей. Особенности в случае,

когда начальное многообразие стратифицировано.
8. Задача Коши для уравнений с переменными коэффициентами. Униформизация

Лере. Теорема об униформизации. Распространение особенностей. Асимптотика Лере.
9. Приложения теории. Задача о заметании заряда. Постановка задачи. Решение задачи.

Примеры.
10. Приложения теории. Задача о материнском теле. Постановка задачи. Функция

Шварца. Алгоритм построения материнского тела.

Литература.

1. B. Sternin, V. Shatalov. Dierential equations on complex manifolds. Kluwer. 1994. 2. Ж. Лере. Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном аналитическом многообразии. М. Мир. 1961. 3. Ф. Фам. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. М. Мир. 1970

2