Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/f15/f15-filimonov-PDE-2015.doc Дата изменения: Mon Aug 31 17:28:47 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 08:08:22 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

.в мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь
максимума или минимума.
Л. Эйлер. Метод нахождения кривых, обладающих
свойствами максимума, либо минимума. Берлин,
1744 г.


Методы функционального анализа в математической физике
(семестровый курс - осенний семестр)
Филимонов А.М. (amfilimonov@yandex.ru)


Некоторые основные конструкции функционального анализа.
Основные функциональные пространства. Дифференциальное исчисление в
функциональных пространствах. Дифференциал Фреше и дифференциал Гато.
Экстремумы функционалов. Вариационная формулировка основных задач
математической физики. Идеи Гаусса, Дирихле, Римана, Вейерштрасса. Задачи
на собственные значения. Модели квантовой механики.

Примеры. Уравнения второго порядка - уравнение Лапласа, волновое
уравнение, уравнение теплопроводности. Уравнения высших порядков -
уравнения колебаний балок Эйлера, Рэлея и Тимошенко, уравнение Софи
Жермен. Системы уравнений - уравнения теории упругости.

Энергетический метод.
Стационарные задачи, слабые решения. Положительные и положительно
определенные операторы. Энергетические пространства. Задача о минимуме
квадратичного функционала. Расширения положительных и положительно
определенных операторов. Подход к обобщенному решению, основанный на
теореме Хана - Банаха. Теорема Лакса - Мильграма. Задачи на собственные
значения. Нестационарные задачи.

Вариационные методы в нелинейных задачах. Уравнения колебаний нелинейных
сред. Колмогоровские поперечники соболевских классов функций.

Канонические переменные.
Геодезические. Поле экстремалей. Уравнение Гамильтона - Якоби. Полный
интеграл нелинейного уравнения с частными производными первого порядка.
Теорема Пуанкаре об интегральном инварианте. Подходы Гамильтона и Лиувилля
к описанию статистической механики. Связь с квантовой механикой.