Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/entrance/03f.ps Дата изменения: Fri Sep 26 11:31:18 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:12:00 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

Независимый московский университет
Вступительный экзамен 7 сентября 2003
Время на работу | 4 часа
Для зачисления в НМУ не обязательно решить все задачи
1. Выпуклый пятиугольник P гомотетичен пятиугольнику, построенному
на серединах его сторон. Верно ли, что P | правильный?
2. а) Докажите, что двумя кругами радиуса 1=2 нельзя полностью покрыть
квадрат со стороной 1.
б) Можно ли двумя кругами радиуса 1=2 покрыть 95% площади квадра-
та со стороной 1?
3. Точка A расположена на границе верхнего основания прямого кругового
цилиндра высоты h и радиуса 1. Точка B лежит на границе нижнего осно-
вания и повернута относительно A на 90 ф (то есть, равен 90 ф угол между
плоскостями, проходящими через ось цилиндра и точки A, B соответствен-
но).
При каких значениях h кратчайший путь по поверхности цилиндра из
A в B не проходит через основания цилиндров?
[Задача 3 некорректна! Приносим свои извинения.]
4. Доказать, что
cos(5=33) cos(7=33) cos(10=33) cos(13=33) cos(14=33) = 1=32:
5. В клетках доски размером 100  100 расставлены 2000 крестиков. Дока-
жите, что есть прямоугольник (со сторонами, параллельными краям дос-
ки), во всех четырех вершинах которого стоят крестики.