Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/an8.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:43:54 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Высший Колледж математики
Математический анализ 1-й курс 25 октября 2000 года
Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x 0 , если 8">0 9ф>0 :
jx x 0
j<ф ) jf(x) f(x 0
)j<" : Определение 2. Функция f называется непрерывной в
точке x 0 , если для всякой последовательности x k
k!1
! x 0 выполняется f(x k ) k!1
! f(x 0 ).
Определение 3. Функция f называется непрерывной (на всей области ее определе-
ния), если прообраз всякого открытого подмножества ямой открыт.
1. Докажите, что определения 1{3 эквивалентны.
2. В каких точках непрерывны функции: sin 1
x
; x sin 1
x
; 1
x
sin x; ( 1) [1=x] ; 1
[1=x]
, f 1
x
g?
3. Функция определена и непрерывна на прямой. Докажите, что она однозначно задается
своими значениями в рациональных точках.
4. Пусть x 0 | точка метрического пространства (X; ). Докажите, что функция x 7!
(x 0 ; x) на X , заданная расстоянием до выбранной точки, непрерывна.
5. Опишите все непрерывные функции на прямой, удовлетворяющие тождеству
а) (x + y) = (x) (y); б) (x + y) = (x) + (y):
6. Докажите, что ограниченная функция на отрезке непрерывна тогда и только тогда,
когда ее график замкнут.
7. Докажите, что множество точек разрыва монотонной функции не более, чем счетно.
8. Приведите пример функции с разрывами во всех рациональных точках и непрерывную
в иррациональных а) какой-нибудь; б) монотонной.
9. Приведите пример функции, разрывной в точках канторова множества и только в
них.
10. Функция на целых 10-адических числах сопоставляет каждой бесконечной влево по-
следовательности ее второй элемент. Непрерывна ли она?
11. Рассмотрим следующие теоремы о множестве действительных чисел:
 теорему о существовании точной верхней грани ограниченного множества;
 теорему о существовании общей точки у системы вложенных отрезков;
 теорему о существовании у ограниченной последовательности сходящейся под-
последовательности;
 теорему о существовании у покрытия отрезка интервалами конечного подпо-
крытия.
Рассмотрим следующие свойства функции f , непрерывной на отрезке [a; b]:
 функция ограничена;
 функция достигает своего максимума;
 если f(a) < 0 < f(b), то f(x) = 0 для некоторого x 2 [a; b];
 функция равномерно непрерывна:
8">0 9ф>0 : 8x; y2[a; b] jx yj<ф ) jf(x) f(y)j<" :

а) (Слабая формулировка.) Докажите приведенные свойства непрерывной функ-
ции.
б) (Сильная формулировка.) Выведите каждое из приведенных свойств непрерыв-
ной функции из каждой приведенной теоремы о действительных числах (этот
пункт включает 4  4 = 16 задач).