Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/an1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:42:24 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: фхнбоопуфш бодтпнедщ

Высший Колледж Математики
Математический анализ, 1-й курс, 6 сентября
1. Докажите неравенство Бернулли:
(1 + x) n  1 + nx n 2 N; x  1:
2. Укажите такое натуральное n > 1, что 2 n > n 1000 .
3. Укажите такое натуральное n, что 1; 0001 n > 1000000.
4. Укажите такое натуральное n, что 1000 n < n!
5. Докажите, что 100
p
2 < 1; 01.
6. При каком натуральном k величина k 2
1;001 k
максимальна?
Определение. Отношением на множестве M называется подмно-
жество множества пар M  M . Отношение R  M  M называется
отношением эквивалентности, если оно
симметрично, т. е. (x; y) 2 R ) (y; x) 2 R;
транзитивно, т. е. (x; y) 2 R; (y; z) 2 R ) (x; z) 2 R;
рефлексивно, т.е. (x; x) 2 R 8x 2 M .
Множество попарно эквивалентных относительно R элементов мно-
жества M называется классом эквивалентности.
7. Дайте определение рационального числа как класса эквивалент-
ности. Определите операции над рациональными числами.
Определение. Рациональным числом называется целочисленная пря-
мая на плоскости, проходящая через начало координат и не совпадаю-
щая с осью ординат.
8. Докажите эквивалентность приведенного определения рациональ-
ного числа вашему. Определите сложение и умножение целочисленных
прямых.
9. Есть ли рациональные корни у многочленов а) x 4 + 2x 3 + 8x + 16;
б) x 4 +5x 3 +3x 2 16x 20; в) 2x 4 +10x 2 +5x+10; г) 3x 3 7x 2 4x+2?
10. Докажите, что существуют два иррациональных числа a и b,
такие что а) a + b; ab рациональны; б) a b рационально.
11. Что такое
p
2?
12. Докажите, что
p
2 +
p
3 иррационально.
13. При каких целых a; b; c сумма a
p
2 + b
p
3 + c
p
5 рациональна?
14  Докажите, что сумма a 1
p
b 1 +


+a k
p
b k иррациональна, если a i
целые, а b i различные положительные целые, свободные от квадратов.
15. Рационально ли число sin 20 o ?
16. Целочисленные точки на плоскости окружены кружками радиу-
сом 10 10 . Докажите, что любая прямая, проходящая через начало ко-
ординат, пересекает а) еще хотя бы один кружок;
б) бесконечно много кружков.
1

Рис. 1.
17. Докажите, что а) существует пара целых чисел m и n, такая что
jm n
p
2j < 10 10 ;
б) таких пар бесконечно много.
Цепные дроби. Задача 17 допускает следующее решение: положим
m k = 1
2 (1 +
p
2) k + 1
2 (1
p
2) k ; n k =
p
2
4 (1 +
p
2) k
p
2
4 (1
p
2) k :
Тогда m 0 = 1, n 0 = 0, m k+1 = m k +2n k , n k+1 = m k +n k . Отсюда следует,
что все m k и n k целые, и, кроме того, jm k n k
p
2j = (
p
2 1) k , что
меньше 10 10 для достаточно больших k, поскольку
p
2 1 = 0; 414


<
1.
Приведенное, на первый взгляд, искусственное, решение, вытекает,
в действительности, из теории цепных дробей, служащей для приближе-
ния иррациональных чисел рациональными. Для получения наилучших
приближений можно пользоваться следующими методами.
Метод вбивания колышков. Изобразим число  (положительное,
для определенности) лучом y = x в первом квадранте плоскости. От-
метим целые точки (k; n), k; n 2 Z + . Обозначим через + и ломан-
ные, являющиеся частями границ выпуклых оболочек множеств целых
2

Рис. 2. Первый параллелограмм образован вершинами Ou 1 u 0 u 1 ; второй
ЂЂ Ou 0 u 1 u 2 ; третий ЂЂ Ou 1 u 2 N ; чтобы получить вершину четвертого
параллелограмма, нужно сдвинуть отрезок u 1 N , до отрезка u 3 N 0
точек, расположенных выше и ниже луча соответственно (рис. 1). За-
нумеруем единой нумерацией вершины u k = (q k ; p k ) обоих ломанных,
u 2k 1 2 , u 2k 2 + .
18. Докажите, что числа p k =q k приближают  с ошибкой, не превы-
шающей 1=(q k ) 2 .
Метод вытягивания носов. Мы строим последовательность па-
раллелограммов, натянутых на векторы Ou k 1 ; Ou k . Вершина N с ко-
ординатами u k 1 + u k , противоположная вершине O, называется Ђно-
сомЃ. Начальный параллелограмм | единичный квадрат, u 1 = (1; 0),
u 0 = (0; 1). Далее поступаем так: перемещаем отрезок u k 1 N вдоль пря-
мой, на которой он лежит, до тех пор, пока точка N не пересечет ис-
ходный луч, и еще немного, чтобы концы сдвинутого отрезка попали в
целые точки. Начало сдвинутого отрезка обозначим через u k+1 . Это и
задает новый параллелограмм. (См. рис. 2.)
19. Докажите, что полученные точки u k | те же, что и в методе
вбивания колышков.
20. Докажите, что все параллелограммы имеют одинаковую площадь
1. Выведите отсюда равенство jp 1 =q k p k+1 =q k+1 j = 1=(q k q k+1 ), приво-
3

дящее к той же оценке на порядок приближения числа , что и выше.
Цепной дробью называется бесконечная дробь вида a 1 + 1
a 2 + 1
a 3 +:::
,
a i 2 N (a 1  0).
21. Докажите, что каждое иррациональное число допускает един-
ственное представление в виде бесконечной цепной дроби (цепная дробь
конечна тогда и только тогда, когда она представляет рациональное чи-
сло).
Если в бесконечной цепной дроби отбросить все члены, начиная с
(n + 1)-го, то получатся рациональные приближения исходного ирраци-
онального числа.
22. Докажите, что полученные рациональные приближения совпа-
дают с приближениями, полученными методами вбивания колышков и
вытягивания носов. Как при помощи этих методов определить числа
a k ?
23. Пусть  =
p
2. Рассмотрим преобразование A плоскости в себя,
задаваемое равенством (x; y) 7! (x + y; 2x + y) Докажите, что это пре-
образование сохраняет целые точки, прямую y =
p
2 x, и переставляет
ломаные  . Выведите отсюда, что Au k = u k+1 , и что цепная дробь для
p
2 периодическая. Найдите разложение
p
2 в цепную дробь.
Приведем явную формулу. Преобразование A действует на векто-
ры с координатами (1;
p
2) умножением на 1 
p
2, поэтому из ра-
венства u 0 = (0; 1) = 1
2
p
2
(1;
p
2) + 1
2
p
2
( 1;
p
2) вытекает равенство
u k = (1+
p
2) k
2
p
2
(1;
p
2) + (1
p
2) k
2
p
2
( 1;
p
2), что эквивалентно формулам из
приведенного выше решения задачи 17.
4