Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/alg1s_ex2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 22:42:34 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Высший Колледж Математики НМУ 25.02.2001
Письменный экзамен по алгебре за первый семестр
для получения оценки ЂотличноЃ достаточно набрать 50 баллов
Задача 1 (10 баллов). Перестановка  2 S n равна произведению независимых k 1 циклов дли-
ны 1, k 2
циклов длины 2, k 3
циклов длины 3, : : : , k n циклов длины n. Выразите число всех
перестановок, сопряжённых с , через n и k 1 ; k 2 ; : : : ; k n .
Задача 2 (10 баллов). Сколько корней имеет уравнение x 7 = 35 в Z=601Z?
Задача 3 (10 баллов). Существует ли в Z-модуле
а) Z  27Z
б) Z  3Z Z  3Z Z  3Z
такой подмодуль W , который нельзя было бы отщепить прямым слагаемым (т. е. подобрать
к нему дополнительный подмодуль W , такой что весь модуль распадётся в прямую сумму
V W ).
Задача 4 (10 баллов). Наименьший простой делитель порядка конечной группы равен 3. Вся-
кая ли её подгруппа индекса 3 нормальна?
Задача 5 (10 баллов). Приводим ли в Z[x] многочлен x 6 + x 3 + 1 ?
Задача 6 (10 баллов). Является ли обращение в нуль всех миноров m-того порядка у матрицы
системы из n > m однородных линейных уравнений от m неизвестных (над полем)
а) необходимым
б) достаточным
для существования у такой системы нетривиального решения?
Задача 7 (10 баллов). Сколько имеется полей из 8 элементов и может ли такое поле содержать
поле из 4 элементов?
Задача 8 (10 баллов). Вычислите 2001-ю производную в нуле (или, если угодно, 2001-й член
разложения в ряд Тейлора вблизи нуля) от (1 + x + x 2 ) 1 .
Задача 9 (10 баллов). Матрица A размера n n имеет ранг n 1. Каков ранг у её присоеди-
нённой матрицы A _ ?