Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/dgex10.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:16:33 2007 Кодировка: koi8-r

МК НМУ. 3 курс 1 семестр. 6.11.00
Симплектические структуры и пуассоновы скобки
Согласно основному уравнению классической механики (второму закону Ньютона) каждой механической
системе сопоставляется многообразие B (конфигурационное пространство) и функция (гамильтониан или
полная энергия) H на пространстве T  B. При этом траектории движения системы x(t)  B суть проекции
на B интегральных траекторий векторного поля dH, где  : T  T  B ! TT  B | оператор, соответствующий
стандартной симплектической структуре на T  B.
Задача 1. Напишите уравнения движения явно в случае, когда B = R n .
Пусть теперь B = R 2 , а H = k(q 1 q 2 ) 2 =2 + p 2
1 =2m 1 + p 2
2 =2m 2 (система | два груза массами m 1 и m 2 ,
надетые на стержень и соединенные невесомой идеальной пружиной жесткости k).
Задача 2. Докажите, что fP; Hg = 0, где P def
= p 1 + p 2 , а пуассонова скобка определяется стандартной
симплектической структурой на T  B. Выведите отсюда, что интегральные траектории поля dH лежат на
пересечении поверхностей уровня функций P и H.
Задача 3. Докажите, что ограничение симплектической структуры на пространстве T  B на подмного-
образие H = c 1 ; P = c 2 (совместную поверхность уровня из предыдущей задачи) равно нулю. Найдите явно
интегральные траектории поля dH, лежащие в этом подмногообразии, и их проекции на B.
1