Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f01/calc1y3.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:48:54 2007 Кодировка: koi8-r

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 3
Abstract. Определение и свойства действительных чисел. Приложение теоремы о существовании точной
верхней грани у ограниченного множества.
В данной лекции мы предполагаем, что определение рациональных чисел и действий над ними известно.
В множестве Q определена топология, базу окрестностей в которой составляют интервалы (a; b) = fx 2 Q j
a < x < bg.
Действительным (вещественным) числом называется такое подмножество a  Q такое, что
1. a 6= ?, a 6= Q.
2. Если x 2 a и y < x, то y 2 a.
3. Множество a  Q замкнуто.
Множество действительных чисел обозначается R. Неформально говоря, действительное число a мы
определяем как множество рациональных чисел x таких, что x  a. Множество Q можно вложить в множе-
ство R, сопоставив каждому рациональному числу a множество fx 2 Q j x  ag | таким образом, можно
считать, что Q R.
Будем говорить, что a < b, где a; b 2 R, если a  b (как подмножества в Q). Положительным называется
действительное число, большее нуля (действительное число 0 определено ранее, т.к. 0 2 Q  R). Число a,
противоположное числу a, определяется как замыкание множества fx j x =
2 ag. Суммой действительных
чисел a и b называется замыкание множества fx + y j x 2 a; y 2 bg. Произведение ab двух положительных
чисел определяется как замыкание множества fxy j x 2 a; y 2 b; x > 0; y > 0g [ fx 2 Q j x  0g. Если одно из
чисел a, b или оба они неположительны, то произведение ab определяется по правилу знаков.
Теорема 1. Определения операций над действительными числами корректны. Сложение и умножение
обладают всеми стандартными свойствами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и
проч.) | иными словами, множество R с введенными операциями сложение и умножения является полем.
Отношение < является отношением строгого линейного порядка: из неравенств a < b < c следует a < c,
и для любых различных действительных чисел a и b выполнено либо неравенство a < b, либо неравенство
b < a. Неравенство a < b равносильно условию положительности числа ( a) + b. Сумма и произведение
положительных чисел положительны.
Доказательство. представляет собой длинный перечень рутинных проверок, использующих приведенные
выше определения и свойства рациональных чисел. Проверим, например, корректность определения сложе-
ния | докажем, что определенное выше множество a + b на самом деле представляет собой действительное
число. По определению, множество a + b замкнуто и непусто. Очевидно также, что a + b 6= Q: существуют
рациональные числа M и N такие, что 8x 2 a : M > x и 8y 2 b : N > y. Тогда, очевидно, M + N =
2 a + b.
Пусть теперь z 2 a + b и w < z. Из утверждения о структуре замкнутых множеств в Q, доказанного в пре-
дыдущей лекции, следует, что существуют последовательности рациональных чисел xn 2 a и y n 2 b такие,
что xn +yn ! z при n !1. Из неравенства y n z +w < y n следует, что y n z +w 2 b, откуда вытекает, что
число w = lim n!1 xn + (y n z +w) принадлежит a + b. Аналогично проверяется корректность определения
умножения и доказываются основные свойства этих действий.
Утверждение, что из неравенств a < b < c следует a < c, очевидно следует из определения. Докажем, что
из всяких двух действительных чисел ровно одно больше другого. Пусть это не так: найдутся два числа
a 6= b, которые не являются подмножествами друг друга | существуют числа x 2 b n a и y 2 a n b. Тогда
если x < y, то по определению должно быть x 2 a | противоречие; аналогично в случае y < x.
Доказательство двух последних утверждений теоремы | несложное упражнение.
Говорят, что число s ограничивает множество A  R сверху, если 8x 2 A : s  x. Множество A
называется ограниченным сверху, если существует число, ограничивающее его сверху. Наименьшее из чисел,
ограничивающих данное множество A сверху, называется его точной верхней гранью и обозначается sup A.
Теорема 2. У всякого ограниченного сверху множества действительных чисел имеется точная верхняя
грань.
Доказательство. В качестве действительного числа sup A (как множества рациональных чисел) можно
взять замыкание M множества S
x2A x. Оно по определению замкнуто и непусто. Оно не совпадает с Q
поскольку по условию теоремы существует такое рациональное число s что 8x 2 A : s > x | очевидно,
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 3
s =
2 M . Пусть теперь z 2 M и w < z. Тогда существует последовательность xn ! z при n ! 1 такая, что
8n 9un 2 A : xn 2 un . Но тогда xn z +w 2 un , откуда следует, что w = lim n!1 (x n z +w) также является
элементом множества M . Таким образом, множество M представляет собой действительное число.
Докажем теперь, что число M ограничивает множество A сверху. Если это не так, то 9u 2 A : u > M .
Иными словами, 9u 2 A 9x 2 u 8m 2 M : x > m. Но если x 2 u 2 A, то x 2 M | противоречие.
Докажем, что среди всех чисел, ограничивающих множество A сверху, M является наименьшим. Дей-
ствительно, пусть N < M . Тогда существует рациональное число x такое, что N < x < M и, следовательно,
x 2 M . Это означает, что 9u 2 A : x 2 u. Но отсюда вытекает, что u  x > N и, следовательно, N не
ограничивает множество A сверху.
Следствие 1. Произвольная возрастающая ограниченная последовательность f : N ! R имеет предел
при n !1.
Доказательство. Множество f(N)  R ограничено и, следовательно, имеет точную верхнюю грань a =
sup f(N). Докажем, что a = lim n!1 f(n). Действительно, для произвольного  > 0 число a  не ограничи-
вает множество f(N) сверху, а число a | ограничивает, поэтому найдется такое N , что a  < f(N ) < a.
Поскольку последовательность f возрастающая, это неравенство верно и для всех n > N .
Следствие 2. Пусть [a 1 ; b 1 ]  [a 2 ; b 2 ]  : : : | последовательность вложенных отрезков на действитель-
ной оси. Тогда пересечение T
n [a n ; b n ] непусто.
Доказательство. Множество fa 1 ; a 2 ; : : : g ограничено сверху любым из чисел b 1 ; b 2 ; : : : . Поэтому число a def
=
sup n an существует и удовлетворяет неравенству a  b i при всех i = 1; 2; : : : . Тем самым оно принадлежит
изучаемому пересечению.
Следствие 3. Отрезок [a; b]  R| связное множество.
Доказательство. Пусть [a; b] = A 1 [A 2 , где A 1 , A 2 открыты, замкнуты, непусты и не пересекаются. Пусть
b 2 A 2 ; положим p = sup A 1 , тогда p < b. Пусть p 2 A 1 . Поскольку A 1 открыто и p < b, существует такое
ф > 0, что (p; p + ф)  A 1 , вопреки тому, что p ограничивает множество A 1 сверху. Если же p 2 A 2 , то
поскольку A 2 открыто и p > a (очевидно), то существует такое ф > 0, что (p ф; p)  A 2 , вопреки тому, что
p | наименьшее из чисел, ограничивающих множество A 1 сверху.
Следствие 4 (следствия 3 | теорема о промежуточном значении). Пусть f : [0; 1] ! R | непрерывное
отображение, причем f(0) < 0, а f(1) > 0. Тогда существует точка x 2 [0; 1] такая, что f(x) = 0.
Ясно, что отрезок [0; 1] можно заменить любым другим отрезком, а значение 0 | любым другим веще-
ственным числом. Коротко говорят: непрерывная функция, принимая два значения, принимает и всякое
промежуточное значение.
Доказательство. Пусть f(t) 6= 0 при всех t 2 [0; 1]. Тогда [0; 1] = X 1 [ X 2 , где X 1 = f 1 ((1; 0)) и
X 2 = f 1 ((0; +1)). Множества X 1 , X 2 открыты, непусты и не пересекаются, вопреки следствию 3.