Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f01/alg4a.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:20:29 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

Группа вычетов modn и китайская теорема об остатках 4 октября 2001
0. Доказать, что Z n = Z p a i
i
, если n = p a i
i
.
Функция Эйлера ' (n) и мультипликативная группа Z 
n кольца вычетов modn
1. Доказать, что jZ n j  = ' (n).
2. Если n = p a i
i , то Z 
n = Z 
p a i (воспользоваться китайской теоремой об остатках)
3. Если простое p нечетно, то Z 
p a | циклическая группа. Является ли циклической группа Z 
8 ? Разложите
группу Z 
8 в прямое произведение циклических групп.
Первоначальные понятия теории групп
4а. Любая подгруппа и факторгруппа циклической группы циклическая группа.
4б. Пусть порядок элемента группы x есть число pq, где p и q взаимно просты. Доказать, что в группе
найдутся такие элементы u и v, для которых выполняются равенства:
x = uv = vu; u p = e; v q = e:
Опр. Подстановку вида

 1  2 : : :  k 1  k  1 : : : n k
 2  3 : : :  k  1  1 : : : n k

будем называть k-членным циклом или циклом длины k и записывать так: ( 1 ;  2 ; : : : ;  k ).
Опр. Два цикла ( 1 ; : : : ;  k ), ( 1 ; : : : ;  l ) будем называть независимыми, если множества f 1 ; : : : ;  k g,
f 1 ; : : : ;  l g не пересекаются.
5. Доказать, что каждую подстановку можно представить в виде произведения независимых циклов.
6. Пусть подстановка u представлена в виде произведения циклов, v | произвольная подстановка. Дока-
зать, что если в циклах, составляющих u, произвести замену всех чисел так, как указывает подстановка
v, то получится подстановка vuv 1 .
7. Найти все элементы группы Sn , перестановочные с циклом ( 1 ;  2 ; : : : ; n ), где  1 ;  2 ; : : : ; n | пере-
становка чисел 1; 2; : : : ; n.
8. Описать группу самосовмещений правильного тетраэдра и доказать, что эта группа изоморфна сим-
метрической группе четвертой степени.
9. Найти порядок группы всех самосовмещений куба.
10. Пусть фигура  состоит из всех точек пространства, имеющих целые координаты в некоторой пря-
моугольной системе координат.
1) Найти группу самосовмещений .
2) Описать все подгруппы четвертого порядка группы самосовмещений .
11. Доказать, что всякая абелева группа порядка pq, где p и q | различные простые числа, циклическая.
12. Доказать, что симметрическая группа S 3 является гомоморфным образом симметрической группы S 4 .
13. Если ord x = n; ord y = m, и xy = yx, то в группе есть элемент порядка НОК (m; n).
14. Пусть G абелева группа с генетическим кодом h g 1 ; g 2 ; g 3 j 2g 1 + 2g 2 + 3g 3 = 0; 3g 1 6g 2 = 0i. Предста-
вить G в виде прямой суммы циклических групп. Вычислить ранг группы G.
Элементарные преобразования над полем и кольцом Z
15. Пусть V | n-мерное векторное пространство над полем F. Показать, что с помощью конечной це-
почки элементарных преобразований можно от данного базиса V перейти к любому другому.
16. Пусть G | свободная абелева группа ранга n с базисом g = fg 1 ; : : : ; g ng. Показать, что с помощью
цепочки элементарных преобразований над Z
а) g i $ g j ; i < j
б) g i 7! g i + mg j ; m 2 Z; i 6= j
в) g i 7! g i
можно от базиса g перейти к любому наперед заданному базису группы G (короче: любую целочислен-
ную матрицу с определителем 1 с помощью элементарных преобразований над Zможно привести к
единичной).
17. Докажите, что любую целочисленную матрицу с помощью элементарных преобразований (над Z)
строк и столбцов можно привести к диагональному виду diag (d 11 : : : d rr ; 0 : : : 0). При этом можно добиться
того, чтобы d 11 j d 22 j d 33 j : : :j d rr .
1