Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f02/top2p9.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:46:39 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Листок 9. Векторные поля. Конструкция Понтрягина (6 ноября)
83. Дана триангуляция замкнутого многообразия M n . Постройте на M n векторное поле так,
чтобы каждому k-мерному симплексу триангуляции соответствовала бы особая точка индекса
( 1) k (симплексы и особые точки должны находиться во взаимно однозначном соответствии.)
84. Докажите, что если M n | замкнутое многообразие с нулевой эйлеровой характеристикой,
то на M n существует векторное поле без особых точек.
85. Докажите, что сумма индексов особых точек векторного поля на замкнутом многообразии
нечётной размерности равна нулю.
86. Докажите, что если на замкнутом многообразии существует поле направлений (т.е. в ка-
ждой точке задана прямая из касательного пространства), то на нём существует и векторное
поле без особых точек.
87. Докажите, что если M n | замкнутое неориентируемое связное многообразие, то гладкие
отображения f; g : M n ! S n гомотопны тогда и только тогда, когда их степени по модулю 2
равны.
Гладкое замкнутое подмногообразие (не обязательно связное) M k  R n+k называют осна-
щённым, если в каждой точке x 2 M k задан ортонормированный набор векторов v 1 (x); : : : ; v n (x),
ортогональных T x M k ; при этом каждый вектор v i (x) гладко зависит от x. Пустое множество
мы считаем оснащённым многообразием любой размерности k.
Два оснащённых многообразия M k
0 и M k
1 называют оснащённо кобордантными, если в R n+k+1
существует подмногообразие W k+1 , обладающее следующими свойствами:
 W k+1 расположено в полосе 0 6 x n+k+1 6 1;
 край W k+1 состоит из M k
0 и M k
1 , причём эти многообразия расположены, соответственно,
на гиперплоскостях x n+k+1 = 0 и x n+k+1 = 1;
 W k+1 подходит к этим гиперплоскостям ортогонально;
 на W k+1 задано гладкое семейство ортонормированных наборов векторов, продолжающее
те семейства, которые заданы на M k
0 и M k
1 .
Множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в R n+k обозна-
чают
k
fr (n + k).
88. Задайте на
множестве
k
fr (n + k) структуру абелевой группы (несвязное объединение).
89. а) Докажите,
что
0
fr (n)  =  n (S n ) при n > 1 (Хопф).
б) Докажите,
что
k
fr (n + k)  =  n+k (S n ) при k > 0 и n > 1 (Понтрягин).
90. Опишите оснащённое многообразие
в
1
fr (3), соответствующее расслоению Хопфа p : S 3 !
S 2 .