Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/Lie3.ps Дата изменения: Thu Oct 16 17:59:08 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:39:57 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Алгебры Ли Семинар 3
1. Вычислите структурные константы (ассоциативной) алгебры диф-
ференциальных операторов на прямой, т. е. найдите A ijkl
rs , для которых
x i @ j
ф x k @ l =
X
i;j;k;l
A ijkl
rs x r @ s :
2. Докажите, что (ассоциативная алгебра) дифференциальных опе-
раторов на прямой проста (не содержит нетривиальных двусторонних
идеалов). Проста ли алгебра Ли Dif 1 (по определению, состоящая из диф-
ференциальных операторов на прямой с операцией коммутатора)?
3. Укажите в алгебре Ли Dif 1 три подалгебры Ли, изоморфные sl 2 .
4. Алгебра псевдодифференциальных операторов состоит из всех
сумм вида
N
X
k=1
p k (x)@ k ; (1)
где p k (x) | многочлены (или многочлены Лорана) от x.
(а) Определите на этой алгебре ассоциативное умножение, продолжа-
ющее обычное умножение дифференциальных операторов.
(б) Докажите, что в алгебре псевдодифференциальных операторов
для любого оператора вида A = @ k + a(x)@ k 1 + : : :
 существует обратный оператор A 1 = @ k + b(x)@ k 1 + : : : , для
которого AA 1 = A 1 A = 1;
 существует оператор A 1=k = @+c(x)+ : : : , для которого (A 1=k ) k = A.
(в) Докажите, что псевдодифференциальные операторы, коммутиру-
ющие с оператором A = @ k + a(x)@ k 1 + : : : , имеют вид
N
X
p=1
a p A p=k ;
где a i | константы.
5. (а) Докажите, что алгебра Ли Dif 1 совпадает со своим коммутан-
том. Верно ли это для алгебры псевдодифференциальных операторов в
случае, если в (1) p i (x) | (б) многочлены; (в) многочлены Лорана? Най-
дите в каждом из этих случаев размерность факторпространства по ком-
мутанту.