Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/RS6.ps Дата изменения: Mon Oct 20 12:23:53 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:14:40 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

Высший Колледж Математики
Римановы поверхности и -функции
Разветвленные накрытия сферы и теорема Римана.
Если Y | двумерная поверхность, C | комплексная кривая и f : Y ! C |
(топологическое) накрытие, то комплексную структуру с C можно поднять на Y . В
частности, эта конструкция работает в случае, когда C | проективная прямая с
проколотыми точками, C = CP 1 n ft 1 ; : : : ; t c g.
Упражнение 6.1. Докажите, что кольцо fzj0 < r < jzj < Rg  C не биголоморфно
проколотому диску fzj0 < jzj < Rg (другими словами, сфера с проколами и сфера с
дырками | разные кривые).
Будем считать, что поверхность Y связна, а степень d накрытия конечна. Опреде-
лим понятие монодромии накрытия следующим образом. Зафиксируем точку t 0 2 C
и рассмотрим гладкий путь : [0; 1] ! C с началом и концом в этой точке, причем
такой, что его внутренние точки не совпадают с t 0 . Он определяет перестановку
конечного множества из d элементов | прообраза f 1 (t 0 )  Y : нужно рассмотреть
поднятие f 1 ( )  Y этого пути и выкинуть из него слой над точкой t 0 ; в результате
прообраз пути разобьется на d компонент связности, конец каждой из которых задает,
куда переходит его начало. Полученная перестановка и называется монодромией слоя
вдоль пути .
Упражнение 6.2. Проверьте, что монодромия вдоль пути зависит только от его го-
мотопического класса и что монодромия является гомоморфизмом  1 (C; t 0 ) ! S d из
фундаментальной группы проколотой сферы с базисной точкой t 0 в группу S d пере-
становок слоя.
Упражнение 6.3. Распространите определение монодромии на пути, неоднократно про-
ходящие через базисную точку t 0 .
Соединив каждую из выколотых точек t i с точкой t 0 несамопересекающимся от-
резком гладкой кривой так, чтобы эти отрезки не пересекались, мы получаем граф-
звезду с c лучами на сфере. Потребуем, чтобы циклический порядок лучей на входе
в точку t 0 совпадал с задаваемым нумерацией выколотых точек. Сопоставим i-ому
отрезку путь i , идущий из точки t 0 вдоль отрезка, обходящий точку t i в положитель-
ном направлении и возвращающийся по отрезку в обратном направлении. Монодромии
вдоль путей i задают набор перестановок  i на прообразе, обладающий следующими
свойствами:
 подгруппа в S d , порожденная перестановками  i , действует на слое транзитивно,
т.е. для любой пары точек в прообразе есть перестановка из подгруппы, перево-
дящая первую точку во вторую (эта подгруппа называется группой монодромии
накрытия);
 последовательное произведение  c ф : : : ф  2 ф  1 этих перестановок является то-
ждественной перестановкой.
Упражнение 6.4. Докажите эти свойства.
Упражнение 6.5. Проверьте, что цикловой тип (т.е. набор длин циклов) переста-
новки  i не зависит ни от выбора точки t 0 , ни от выбора пути i .

Упражнение 6.6. Докажите, что в накрывающую поверхность над проколотым дис-
ком можно доклеить по точке на каждый цикл монодромии накрытия, причем полу-
ченная поверхность будет гладкой, отображение накрытия продолжается по непре-
рывности в доклеенные точки и продолженное отображение является гладким.
Такое продолженное отображение называется разветвленным накрытием. Докле-
енная точка называется точкой ветвления кратности , если длина соответствую-
щего ей цикла равна .
Упражнение 6.7. Докажите, что в окрестности точки ветвления порядка  функция f
в подходящих комплексных координатах имеет вид x 7! x  .
Упражнение 6.8. Докажите, что для любого набора точек ft 1 ; : : : ; t c g на сфере, лю-
бой звезды на этих точках и любого набора перестановок  1 ; : : : ;  c , обладающего
выписанными свойствами, существует накрытие Y ! S 2 n ft 1 ; : : : ; t c g, для которого
монодромия вдоль пути i совпадает с  i . Это накрытие единственно, т.е. для двух
таких накрытий f 1 : Y 1 ! и f 2 : Y 2 ! существует гомеоморфизм h : Y 1 ! Y 2 , такой,
что f 2 = h ф f 1 .
Упражнение 6.9 (формула Римана{Гурвица). Рассматривая прообраз графа-звезды на
накрывающей компактной поверхности, докажите, что ее эйлерова характеристика
равна
2d
X
( x 1);
где  x | кратность функции f в точке x накрывающей поверхности и суммирование
идет по всем ее точкам.
Упражнение 6.10. Сформулируйте и докажите формулу Римана{Гурвица для случая
накрываемой поверхности произвольного рода.
Упражнение 6.11 (теорема Римана). Зафиксируем на сфере S 2 комплексную струк-
туру. Докажите, что всякое конечнократное накрытие Y ! S 2 nft 1 ; : : : ; t c g проколотой
сферы единственным образом продолжается до голоморфного отображения компакт-
ных комплексных кривых Y ! CP 1 .
Тем самым, любую мероморфную функцию степени d на компактной комплексной
кривой можно задать набором непрерывных параметров | точек t 1 ; : : : ; t c на проек-
тивной прямой и набором дискретных параметров | выбором звезды и c перестановок
множества из d элементов.
Упражнение 6.12. Пусть накрываемая поверхность представляет собой не сферу, а
проколотую поверхность более высокого рода. Как нужно изменить понятия звезды
и набора перестановок, чтобы накрывающая поверхность по-прежнему восстанавли-
валась однозначно?
Упражнение 6.13. Найдите группу монодромии следующих отображений: а) CP 1 !
CP 1 , x 7! x n ; б) CP 1 ! CP 1 , x 7! x 3 x; в) CP 1 ! CP 1 , x 7! x+1=x; г) CP 1 ! CP 1 ,
x 7! x + 1=x + 1=(x 1); д) проекции на ось y эллиптической кривой y 2 = x 3 x; е)
проекции на ось x гиперэллиптической кривой y 2 = p 2g+2 (x), где p 2g+2 | многочлен
степени 2g + 2 с попарно различными корнями; ж) проекции на ось y эллиптической
кривой y 2 = (x 2 1)(4 x 2 ); з) проекции на ось x кривой Ферма x n + y n = 1. Во всех
случаях мы предполагаем, что кривая, заданная уравнением в плоскости, пополнена
до компактной гладкой кривой, а отображение продолжено на нее по непрерывности.

Упражнение 6.14. Выведите из формулы Римана{Гурвица, что группа автоморфиз-
мов поверхности рода g, g  2, не может содержать больше, чем 84(g 1) элементов.
[Указание:] Воспользуйтесь следущим соображением. Рассмотрим факторкривую
кривой C по действию конечной группы G ее атоморфизмов, состоящей из d элемен-
тов, f : C ! C=G. Тогда порядки ветвления отображения f во всех точках ветвления
с общим критическим значением одинаковы. Обозначим порядок ветвления над i-ым
критическим значением через r i , i = 1; : : : ; c. По формуле Римана{Гурвица
(2g 2)=d = 2g(C=G) 2 +
c
X
i=1
(1 1
r i
);
и величину d можно оценить, воспользовавшись тем, что g  2 и g(C=G)  0.
Упражнение 6.15. Придумайте пример комплексной кривой рода g  2 с группой ав-
томорфизмов порядка 84(g 1).