Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/geos4.ps Дата изменения: Fri Oct 3 19:59:03 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:17:40 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
30 сентября 2003 г. 1-ый курс
ГЕОМЕТРИЯ
1) В пространстве R 3 даны три плоскости P 1 ; P 2 ; P 3 , проходящие через ось
Oz и образующие углы ;  (между P 1 и P 2 , P 2 и P 3 ).
а) При каких условиях на ;  группа, порожденная отражениями отно-
сительно этих плоскостей, будет конечной?
б) Если эти условия выполнены, как найти фундаментальную область это-
го действия?
2) На плоскости R 2 рассматриваются три прямые P 1 ; P 2 ; P 3 , образующие тре-
угольник с внутренними углами ; ; .
а) При каких условиях на ; ; группа, порожденная отражениями от-
носительно P 1 ; P 2 ; P 3 , будет дискретной?
б) При выполнении этих условий, как найти фундаментальную область
этого действия?
3) Рассмотрим шесть прямых P 1 ; : : : ; P 6
, содержащих шесть сторон правиль-
ного шестиугольника в R 2 , и группу G, порожденную отражениями от-
носительно этих прямых. Задает ли G геометрию Кокстера? Обоснуй-
те ответ, не пользуясь теоремой классификацией двумерных геометрий
Кокстера, а также пользуясь ей.
4) Пусть F | треугольний Кокстера, s 1 ; s 2 ; s 3
| отражения относительно
его сторон, а G F | соответствующая группа отражений.
а) Опишите геометрически и с помощью слов все элементы группы G F ,
оставляющие на месте фиксированную вершину треугольника F .
б) Опишите геометрически и с помощью слов все параллельные переносы
группы G F .
Рассмотрите каждый из трех треугольников Кокстера отдельно.
5) Нарисуйте схемы Кокстера для
а) многоугольников Кокстера;
б) трехмерных многогранников Кокстера.
6) Докажите, что из каждой вершины трехмерного многогранника Кокстера
выходит ровно три ребра.
7) Пусть (F; G F ) | геометрия Кокстера (произвольной размерности). Дока-
жите, что
а) если s 2 G F | отражение относительно гиперплоскости P , то gsg 1 |
отражение относительно гиперплоскости gP (g 2 G F ).
б) Любое отражение из группы G F сопряжено отражению относительно
одной из граней многогранника F .
8)  Найдите какой-нибудь четырехмерный многогранник Кокстера, кроме
куба.
1