Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/top2l4.ps Дата изменения: Thu Oct 2 21:59:47 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:39:51 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 4. ГОМОЛОГИИ ЗАМКНУТЫХ МНОГООБРАЗИЙ.
Вначале | два следствия из теоремы о совпадении клеточных и сингуляр-
ных гомологий. В них участвуют гомологии с коэффициентами в R, и исполь-
зуется такое утверждение:
Лемма 1. Всякий конечных комплекс конечномерных линейных пространств
над произвольным полем F разлагается в прямую сумму одночленных ком-
плексов 0 ! U ! 0 и двучленных комплексов 0 ! V ! W ! 0, где средняя
стрелка | изоморфизм.
Доказательство. Комплекс 0 ! An @n ! An 1 !


! A 0 ! 0 является
прямой суммой одночленного комплекса 0 ! Ker @n ! 0, двучленного ком-
плекса 0 ! (Ker @n ) ? ! Im@n ! 0, в котором (Ker @n ) ?  An | произвольное
прямое дополнение подпространства Ker @n  An , а средняя стрелка | огра-
ничение @n на это подпространство | является изоморфизмом, и комплекса
0 ! An 1 !


! A 0 ! 0. Далее по индукции.
Следствие 1. Пусть 0 ! An !


! A 0 ! 0 | комплекс конечномерных
линейных пространств над произвольным полем F. Тогда
P n
i=0 ( 1) i dimA i =
P n
i=0 ( 1) i dimH i (A; F).
Доказательство. Если утверждение выполнено для каких-либо двух комплек-
сов, то оно выполнено и для их прямой суммы. Поэтому достаточно проверить
его только для \элементарных" одночленных и двучленных комплексов, упо-
мянутых в лемме 1, | а для таких комплексов проверка тривиальна.
Назовем тензорным произведением комплексов A и B комплекс C, для кото-
рого, по определению, C i =
L
p+q=i A
p
B q , и @ C
i =
L
p+q=i @ A
q
id ( 1) p
id
@ B
q .
Следствие 2. Пусть A и B | комплексы конечномерных линейных пространств
над произвольным полем F. Тогда H i
(A
B; F) =
L
p+q=i H p (A;
F)
H q (B; F).
Доказательство. Опять-таки, утверждение \линейно" по отношению к пря-
мой сумме комплексов. Для элементарных слагаемых леммы 1 оно проверяется
напрямую.
Теорема 1. Пусть X | компактное n-мерное клеточное пространство, в
котором число i-мерных симплексов равно f i . Тогда
P n
i=0 ( 1) i f i =
P n
i=0 ( 1) i dimH i (X; R)
и, тем самым, сумма в левой части одинакова для всех клеточных разбиений.
Сумма в правой части называется эйлеровой характеристикой топологиче-
ского пространства X и обозначается (X).
Доказательство. По определению, f i = dimK i (X; R), так что теорема выте-
кает из следствия 1.
Теорема 2 (формула Кюннета). Пусть X и Y | два клеточных простран-
ства. Тогда H i (X  Y; R) =
L
p+q=i H p (X;
R)
H q (Y; R).
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4. ГОМОЛОГИИ ЗАМКНУТЫХ МНОГООБРАЗИЙ.
Разумеется, формула Кюннета верна также и для пространств, гомотопи-
чески эквивалентных клеточным.
Доказательство. [формулы Кюннета] Нетрудно видеть, что клеточный ком-
плекс пространства XY является тензорным произведением клеточных ком-
плексов пространств X и Y . Поэтому формула вытекает из следствия 2.
Пусть  q : T q ! D q | гомеоморфизм. Триангуляцией топологического про-
странства X называется его клеточное разбиение с таким свойством. Пусть
;  | клетки размерностей q и r < q соответственно, и f  ; f  | их характе-
ристические отображения. Тогда существует r-мерная грань симплекса T q и
аффинное отображение  : T r ! такое, что отображение f  j @D q ф r фф 1
r
гомотопно либо f  , либо f  | композиции f  с симметрией диска D r . В пер-
вом случае говорят, что клетки  и  ориентированы согласованно, во втором
| несогласованно.
Нетрудно видеть, что все характеристические отображения f : D n ! X
триангуляции являются гомоморфизмами D n ! f(D n )  X. Пусть теперь
триангуляция X конечномерна,
 X | какой-нибудь симплекс максималь-
ной размерности n, и a 2 Int
. Тогда Int
| окрестность точки a, го-
меоморфная D n , а проколотая окрестность Int
n fag гомотопически эквива-
лентна S n 1 . В группе n 1 (Int
n fag) = Zвыделена каноническая образую-
щая, полученная ограничением характеристического отображения f
: Tn !
X на границу симплекса Tn . В случае если X | ориентированное n-мерное
многообразие, эта образующая может совпадать с образующей, заданной ори-
ентацией, или не совпадать. Если она совпадает для всех n-мерных симплексов
триангуляции, то говорят, что триангуляция согласована с ориентацией мно-
гообразия.
Следующая теорема (которую мы не будем доказывать) является основой
гомологической теории многообразий.
Теорема (о триангулируемости многообразия). Пусть X | гладкое компакт-
ное n-мерное многообразие без края. Тогда X допускает конечную триангу-
ляцию, причем каждая клетка (симплекс)  размерности n 1 принадлежит
границе ровно двух n-мерных клеток,  1 и  2 . Если многообразие X ори-
ентировано, то триангуляция может быть согласована с ориентацией. В
этом случае симплекс  ориентирован согласованно ровно с одним из двух
симплексов  1 .  2 .
Компактные многообразия без края называют замкнутыми.
Теорема 3. Пусть X | связное замкнутое n-мерное многообразие. Тогда
Hn (X; Z 2 ) = Z 2 , причем образующей группы является сумма n-мерных сим-
плексов произвольной триангуляции многообразия X. Если X ориентируемо,
то Hn (X) = Z, и в качестве образующей можно взять сумму n-мерных сим-
плексов произвольной триангуляции, согласованной с ориентацией.
Доказательство. Докажем утверждение про ориентируемый случай; случай
с коэффициентами Z 2 аналогичен. Выберем на многообразии X ориентиро-
ванную триангуляцию, и пусть  =
P
i k i  i 2 Zn (K(X)). Пусть  | клетка
размерности n 1, лежащая на границе клеток  i и  j . Тогда  входит в @ с
коэффициентом (k i k j ) = 0, откуда k i = k j . Поскольку X связно, любые два
n-мерных симплекса триангуляции можно соединить цепочкой из симплексов;

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4. ГОМОЛОГИИ ЗАМКНУТЫХ МНОГООБРАЗИЙ.3
отсюда следует, что все коэффициенты k i равны друг другу. Тем самым Z=
Zn (K(X)) = Hn (K(X)) (поскольку (n + 1)-мерных цепей не существует) = Hn (X).
В случае неориентированной триангуляции коэффициент при  будет равен
k i  k j = 0, откуда следует, что k i  k j mod 2. Это доказывает результат
про гомологии с коэффициентами в Z 2 .
Пусть Y  X | ориентированное замкнутое подмногообразие размерности
m  n, и  : Y ! X | вложение. Тогда класс гомологий   (1) 2 Hm (X), где
1 2 Hm (Y ) = Z| стандартная образующая, называется классом, реализуе-
мым подмногообразием Y . В случае коэффициентов Z 2 ориентируемость не
требуется.
Пусть f : X ! Y | гладкое отображение связных замкнутых ориентиро-
ванных n-мерных многообразий. Гомоморфизм f : Z= Hn (X) ! Hn (Y ) = Z
представляет собой умножение на число d, называемое степенью отображения
f . Очевидно, гомотопные отображения имеют одинаковую степень.
Точка a 2 X называется некритической для отображения f , если производ-
ная f 0 (x) : T a X ! T f(a) Y | невырожденное линейное отображение. Поскольку
многообразия X и Y ориентированы, линейные пространства T a X и T f(a) Y
также ориентированы, и отображение f 0 (x) может либо сохранять ориента-
цию, либо менять ее. В первом случае точке a приписывается знак (a) = +1,
во втором (a) = 1.
Точка b 2 Y называется некритическим значением отображения f , если все
точки прообраза f 1 (b)  X | некритические. Из компактности и теоремы
о неявной функции следует тогда, что количество точек прообраза конечно.
Лемма (Сарда). Всякое гладкое отображение замкнутых многообразий од-
ной и той же размерности имеет по крайней мере одно некритическое зна-
чение.
На самом деле верно, что множество критических значений мало | имеет
лебегову меру нуль, и именно поэтому не может совпадать со всем многообра-
зием Y . Мы не будем доказывать лемму Сарда.
Теорема 4. Пусть f : X ! Y | гладкое отображение степени d замкнутых
ориентированных n-мерных многообразий, и пусть b 2 Y | некритическое
значение. Тогда
P
a2f 1 (b) (a) = d. Это же равенство верно в Z 2 без пред-
положения ориентированности.
Доказательство теоремы см. в следующей лекции.