Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/top2l10.ps Дата изменения: Thu Nov 13 11:46:55 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:41:42 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: золотая рыба

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 10. ПРЕПЯТСТВИЯ.
Пусть  : E ! B | локально тривиальное расслоение со слоем F , и f : X ! B | непрерывное отобра-
жение. В этом случае над X возникает индуцированное расслоение f   со слоем F , тотальное пространство
которого есть E 0 = f(x; e) 2 X  E j f(x) = (e)g, а отображение  0 : E 0 ! X | проекция на первый
сомножитель. Расслоение называется простым, если для всякого отображения f : S 1 ! B расслоение f  
над S 1 тривиально.
Пример 1. Касательное расслоение к многообразию просто тогда и только тогда, когда многообразие ори-
ентируемо.
Если расслоение просто, его база и слой линейно связны, а слой гомотопически прост, то существует
канонический изоморфизм между группами n ( 1 (b)) слоев над разными точками b. Чтобы построить
его, соединим точки b 1 и b 2 путем : [0; 1] ! B. Индуцированное расслоение   тривиально, как и всякое
расслоение над отрезком; поэтому можно отождествить n ( 1 (b 1 )) и n ( 1 (b 2 )), причем в силу гомотопи-
ческой простоты слоя это отождествление каноническое. В силу простоты расслоения это отождествление
не зависит от пути .
Пусть теперь база B | клеточное пространство, и задано сечение s расслоения  над sk n 1 (B). Пусть
f : D n ! B | характеристическое отображение n-мерной клетки e базы. Индуцированное расслоение f  
тривиально, как всякое расслоение над диском (лемма Фельдбау). Сечение s задает сечение f  s этого рас-
слоения, определенное над @D n = S n 1 . В силу тривиальности расслоения это сечение можно рассматривать
как отображение S n 1 ! F ; обозначим его гомотопический класс c s (e) 2 n 1 (F ) (здесь мы пользуемся ото-
ждествлением гомотопических групп всех слоев). Полученное отображение c является клеточной n-коцепью
пространства B с коэффициентами в группе n 1 (F ). Если c s = 0, то сечение можно продолжить на n-
мерный остов; коцепь c s называется препятствующей.
Теорема 1. Препятствующая коцепь является коциклом: фc s = 0.
Доказательство. Пусть  2 Kn (B) = Hn (sk n (B); sk n 1 (B)) | n-мерная клетка базы B, а f  : D n ! sk n (B)
| ее характеристическое отображение. Поскольку значение препятствующей коцепи c s определяется зна-
чениями f  на границе диска D n , существует такой гомоморфизм % s : Im@ ! n 1 (F ), что c s = % s ф @  ;
здесь @  : Hn (sk n (B); sk n 1 (B)) ! Hn 1 (sk n 1 (B)) | связывающий гомоморфизм из точной гомологической
последовательности пары (sk n (B); sk n 1 (B)).
Клеточный дифференциал @ : Hn+1 (sk n+1 (B); sk n (B)) = Kn (B) ! Kn 1 (B) = Hn (sk n (B); sk n 1 (B)) пред-
ставляет собой композицию p ф @  , где @  : Hn+1 (sk n+1 (B); sk n (B)) ! Hn (sk n (B)) | связывающий гомомор-
физм из точной последовательности пары (sk n+1 (B); sk n (B)), а p : Hn (sk n (B)) ! Hn (sk n (B); sk n 1 (B)) |
естественная проекция. Тогда фc s = c s ф @ = % s ф @  ф p ф @  . Но @  ф p, поскольку гомологическая последова-
тельность пары (sk n (B); sk n 1 (B)) точна.
Пусть s 0 | другое сечение  над sk n 1 (B), причем s = s 0 на sk n 2 (B). Определим коцепь u ss 0 2
C n 1 (B; n 1 (F )) следующим образом. Пусть f : D n 1 ! B | характеристическое отображение клетки
r. Рассмотрим отображение  ss 0 : S n 1 ! F , которое на верхней полусфере равно f  s, а на нижней | f  s 0
(на экваторе отображения согласованы, поскольку s = s 0 на (n 2)-м остове). Тогда u ss 0 (r) | гомотопиче-
ский класс сфероида  ss 0 . Коцепь u ss 0 2 C n 1 (B; n 1 (F )) называется различающей.
Теорема 1 (продолжение). c s c s 0 = фu ss 0 .
Доказательство очевидно. Таким образом, класс когомологий, задаваемый коциклом c s (он называется
препятствием) зависит только от ограничения сечения s на (n 2)-ой остов базы.
Нетрудно видеть, что для всякого сечения s над sk n 1 (B) и всякой коцепи u 2 C n 1 (B; n 1 (F )) суще-
ствует сечение s 0 над sk n 1 (B), совпадающее с s над sk n 2 (B), и такое, что u = u ss 0 . Таким образом, если
препятствие для сечения s равно нулю (препятствующий коцикл c s является кограницей), то его можно
изменить на sk n 1 (B), не меняя над sk n 2 (B), и так, чтобы препятствующая коцепь стала нулевой | после
чего сечение можно продолжить на sk n (B). Следующее препятствие теперь возникнет в H n+1 (B; n (F )), и
т.д. Отсюда следует, например, такое утверждение:
Предложение 1. Если слой расслоения p : E ! B стягиваем, а его база B | клеточное пространство,
то расслоение имеет сечение.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 10. ПРЕПЯТСТВИЯ.
Доказательство. Поскольку пространство B клеточно, достаточно доказать, что сечение существует над
любым остовом. Таким образом, достаточно доказать теорему в случае, когда B конечномерно. Но к
построению такого сечения нет препятствий: все группы n (F ) тривиальны, поэтому тривиальны и все
препятствующие коцепи.
Следствие 1. Во всяком векторном расслоении E ! B с клеточной базой можно наделить слой над
каждой точкой b 2 B скалярным произведением, так чтобы оно непрерывно зависело от точки b.
Доказательство. Множество скалярных произведений (т.е. положительно определенных билинейных форм)
в данном линейном пространстве выпукло (докажите !) и потому стягиваемо. Все такие формы в слоях
векторного расслоения E ! B образуют, таким образом, расслоение над B со стягиваемым слоем.
Следствие 2. Любые два сечения расслоения со стягиваемым слоем гомотопны.
Доказательство. Опять-таки, достаточно доказать теорему в случае, когда B конечномерно, скажем,
dimB = n. Пусть s 0 ; s 1 | два сечения исходного расслоения. Рассмотрим расслоение r  p : E 0 ! B  [0; 1],
где r : B[0; 1] ! B | проекция. Зададим сечение s расслоения r  p, равное s 0 над Bf0g и s 1 над Bf1g, а
над остальными точками sk n (B[0; 1]) | как угодно. К продолжению сечения на B[0; 1] = sk n+1 (B[0; 1])
нет препятствий, поэтому расслоение r  p имеет сечение, совпадаюшее на sk n (B  [0; 1]) с уже построенным.
Но это сечение и есть гомотопия, соединяющая s 0 и s 1 .
Пусть p : E ! B | k-мерное векторное расслоение. Наделим его послойным скалярным произведением
и сопоставим ему расслоение P : S(E) ! B, слоями которого являются (k 1)-мерные единичные сферы
в слоях расслоения E. Поскольку  i (S k 1 ) = 0 при i < k 1, можно построить сечение s такого сфери-
зованного расслоения над sk k 1 (B); к продолжению сечения на sk k (B) возникает препятствие, лежащее в
H k (B;  k 1 (S k 1 )) = H k (B).
Предложение 2. Это препятствие не зависит от выбора сечения s.
Доказательство. Аналогично следствию 2 показывается, что любые два сечения над sk n 2 (B) гомотопны.
Препятствие зависит только от ограничения сечения на sk n 2 (B). Но при гомотопии значение препятству-
ющей коцепи на произвольной клеточной цепи меняется непрерывно, и поэтому не меняется вовсе (значение
целое). Таким образом, препятствие не меняется.
Построенное препятствие зависит, тем самым, только от самого расслоения и называется классом Эйлера
e(p) 2 H k (B).