Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/top2l12.ps Дата изменения: Thu Nov 27 12:03:09 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:42:29 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 12. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕПЯТСТВИЙ.
Предложение 1. Пусть f : B 0 ! B | непрерывное отображение клеточных пространств, а p : E ! B
| векторное расслоение. Тогда e(f  p) = f  e(p).
(слева f  | индуцированное расслоение, а справа | гомоморфизм в когомологиях).
Доказательство. По теореме о клеточной аппроксимации отображение f гомотопно клеточному. По-
скольку класс Эйлера эквивалентных расслоений одинаков, предложение 1 лекции 11 позволяет считать,
что f | клеточное отображение. Но тогда для всякого сечения s сферизованного расслоения P : S(E) ! B
(определенного на подходящем остове базы) получим c f  s = f  c s , где f  s | сечение индуцированного сфе-
ризованного расслоения f  P над B 0 . Поскольку класс Эйлера не зависит от выбора сечения, получаем
требуемое.
Пусть теперь f : B ! G(1; k) | непрерывное отображение, а f   1;k | индуцированное k-мерное рас-
слоение на B.
Теорема 1. Если B | компактное клеточное пространство, то для всякого k-мерного векторного рас-
слоения p : E ! B существует отображение f : B ! G(1; k) такое, что расслоение f   1;k эквивалентно
p. Отображение f определено однозначно с точностью до гомотопии. Иными словами, множество клас-
сов эквивалентности k-мерных векторных расслоений с базой B находится во взаимно однозначном соот-
ветствии с множеством (B; G(1; k)) классов гомотопии отображений из B в G(1; k).
Лемма. Пусть X | компактное клеточное пространство, а Y  X | клеточное подпространство,
p : E ! X | k-мерное векторное расслоение. Пусть ' 1 ; : : : ; 'n ; : : : | сечения расслоения pj Y , равные нулю
при n > N (для некоторого N) и такие, что их значения в произвольной точек b 2 Y порождают слой
этого расслоения. Тогда ' 1 ; : : : ; 'n ; : : : можно продолжить до сечений расслоения p с теми же свойствами.
Заметим, что а) отнюдь не предполагается, что ненулевые функционалы ' 1 ; : : : ; 'n образуют базис в слое
| возможны линейные зависимости и б) в принципе, число N может при продолжении измениться.
Доказательство леммы. Для всякой точки a 2 X существует система сечений расслоения p, значения ко-
торых в точек a порождают слой p 1 (a). По непрерывности, это верно также для всех точек b из некоторой
окрестности U  X точки a. В силу компактности X можно покрыть конечным количеством таких окрест-
ностей U 1 ; : : : ; U k .
Пусть теперь f : X ! R | функция, равная 0 на Y и положительная на X n Y . Рассмотрим все сече-
ния, построенные для окрестностей U 1 ; : : : ; U k , и умножим их на f . К ним добавим все ненулевые сечения
' 1 ; : : : ; 'n ; : : : , которые продолжим на все X | продолжение сечений векторного расслоения на всю базу не
встречает препятствий. Объединим все полученные сечения и дополним нулями до бесконечной системы.
Следствие. Пусть X | компактное клеточное пространство, а Y  X | клеточное подпространство,
p : E ! X | k-мерное векторное расслоение, а h : Y ! G(1; k) | отображение, для которого h   1;k 
pj Y
. Тогда существует отображение f : X ! G(1; k) такое, что f j Y
= h и f   1;k  p.
Доказательство. Пусть x 1 ; : : : ; xn : R n ! R | координаты на R n ; тогда отображения ' i = x i ф h при
достаточно большом n представляют собой сечения расслоения p  j Y
, порождающие его слой в каждой точке.
Согласно лемме, их можно продолжить на все X c сохранением этого свойства. Теперь f можно определить
так: f(b)  R n | подпространство, порожденное всеми наборами (' 1 (x); : : : ; 'n (x)), где x пробегает весь
слой расслоения p над точкой b.
Доказательство теоремы 1. Существование отображения f вытекает из предыдущего следствия, приме-
ненного к X = B и Y = ?. Утверждение о том, что из эквивалентность расслоений f 
0
p и f 
1
p влечет гомотоп-
ность отображений f 0 и f 1 , вытекает из того же следствия, примененного к X = B[0; 1] и Y = Bf0; 1g.
Из предложения 1 и теоремы 1 следует, что класс Эйлера произвольного расслоения является обратным
образом класса когомологий грассманиана G(n; k), двойственного по Пуанкаре к множеству подпространств
k, лежащих в фиксированной гиперплоскости; в силу сказанного выше этот класс в естественном смысле не
зависит от n.
Реализуем окружность S 1 как абелеву группу U(1) = fz 2 C j jzj = 1g. Это порождает естествен-
ную структуру абелевой группы в множестве (X; S 1 ) классов гомотопии отображений X ! S 1 , где X |
произвольное топологическое пространство.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 12. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕПЯТСТВИЙ.
Теорема 2 (Брушлинский). Если X | клеточное пространство, то группа (X; S 1 ) с указанным умно-
жением изоморфна H 1 (X).
Доказательство. Пусть m 2 H 1 (S 1 ) = Z| образующая. Сопоставим всякому отображению f : X ! S 1
элемент f  m 2 H 1 (X); этот элемент зависит только от класса гомотопии отображения f .
Покажем, что построенное отображение (X; S 1 ) ! H 1 (X) | сюръекция. Пусть a 2 Z 1 (X) | коцикл,
представляющий класс [a] 2 H 1 (X). Определим отображение f : sk 0 (X) ! S 1 как отображение в точку 1 2
S 1 . На произвольной 1-мерной клетке e определим f так, чтобы ограничение f на замыкание e представляло
собой петлю в S 1 , класс гомотопии которой равен a(e) 2 Z. Поскольку a | коцикл, к продолжению f на
sk 2 (X) препятствий не возникает. Для остальных остовов их также не возникает, поскольку  k (S 1 ) = 0 при
k > 1. Тем самым f продолжается на все X; очевидно, f  m = [a].
Покажем теперь, что построенное отображение (X; S 1 ) ! H 1 (X) | инъекция. Пусть f 
0
m = f 
1
m.
На sk 0 (X) отображения f 0 и f 1 гомотопны, поскольку S 1 линейно связна. Препятствие к продолжению
гомотопии на sk 1 (X) равно нулю, поскольку f 
0
m = f 
1
m | следовательно, гомотопию можно продолжить
на sk 1 (X) (быть может, предварительно изменив ее на sk 0 (X)). К дальнейшему продолжению гомотопии
препятствий не возникает опять-таки в силу равенств  k (S 1 ) = 0 при k > 1.
Нетрудно убедиться, что построенное отображение | гомоморфизм групп.
Теорема 3 (Хопф). Если X | n-мерное клеточное пространство, то существует взаимно однозначное
соответствие между H n (X) и множеством (X; S n ) классов гомотопии отображений X ! S n .
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2: препятствий к продолжению отображения (или
гомотопии) на остовы sk i (X) при i  n 1 не возникает, поскольку  i (S n ) = 0, следующее препятствие равно
нулю в силу конструкции, а дальнейших препятствий вообще нет, поскольку размерность пространства X
равна n.