Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f04/alg2_1.ps Дата изменения: Wed Sep 8 15:10:00 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:43:18 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

Алгебра, 2 курс Семинар 1
1. Выпишите (а) все неприводимые многочлены степени не выше 4 над F 2 ;
(б) все приведённые (со старшим коэффициентом 1) неприводимые многочлены
степени 3 над F 3 .
2. Вычислите количество (а) неприводимых многочленов степеней 5 и 6
над F 2 ; (б) приведённых неприводимых многочленов степеней 4 и 5 над F 3 .
3. Вычислите количество приведённых неприводимых многочленов степеней
2 и 3 над (а) F 4 ; (б) F 9 .
4. Пусть an (q) | количество приведённых неприводимых многочленов сте-
пени n над F q .
(а)  Докажите равенство степенных рядов:
Y
n>1

1
1 t n
 an (q)
= 1
1 qt
:
(б) Докажите, что q n =
P
djn
da d (q). (Указание. Вычислите логарифмическую
производную обеих частей равенства из предыдущего пункта.)
(в) (Формула обращения Мёбиуса) Пусть f и g | две функции натурального
аргумента, причём для каждого n верно равенство f(n) =
P
djn g(d): Тогда для
каждого n g(n) =
P
djn (d)f(n=d); где  | функция Мёбиуса,
(n) =
(
0; если n делится на квадрат некоторого простого числа,
( 1) k ; если n | произведение k различных простых чисел.
(г) Вычислите an (q).
(д) Докажите, что для любого n над F q существует неприводимый многочлен
степени n.
5. Докажите, что мультипликативная группа конечного поля циклическая.
6. Докажите, что в F p 2 любое квадратное уравнение с коэффицентами из
F p имеет решение. Верно ли аналогичное утверждение про F p 3 и кубические
уравнения?
7. Для каких простых чисел p существует такой элемент a 2 F p , что
F p 3 = F p [ 3
p
a]?
8. Докажите, что многочлен x p x a либо неприводим над F p n , либо раскла-
дывается в произведение линейных множителей, причём последнее имеет место
если и только если a + a p + a p 2
+ : : : + a p n 1
= 0.
9.  Докажите, что многочлен x 2n + x n + 1 неприводим над F 2 если и только
если n | степень тройки.