Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f04/geom1_2.ps Дата изменения: Thu Sep 16 12:34:54 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:44:01 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

Геометрия: листок 2. Проективная прямая (16.09.2004)
Задача 1. Пусть A 1 , B 1 , C 1 , D 1 | точки прямой l 1 . Докажите, что при проецировании прямой l 1 на
прямую l 2 из некоторой точки O величина C 1 A 1
C 1 B 1
: D 1 A 1
D 1 B 1
сохраняется.
Введём на прямой l координаты и будем вместо, например, CA брать c a, где c и a | координа-
ты точек C и A. Величину c a
c b
: d a
d b
называют двойным отношением четырех точек и обозначают
[A; B; C; D].
Задача 2. Двойное отношение четырех точек равно . Какие значения может принимать двойное отно-
шение тех же самых четырех точек, взятых в другом порядке?
Назовем преобразование прямой проективным, если оно сохраняет двойное отношение любых четырех
точек.
Задача 3. Докажите, что любое преобразование прямой, которое можно представить в виде композиции
нескольких проецирований, является проективным преобразованием.
Отображение вида x 7! ax + b
cx + d
, где ad 6= bc, назовем дробно-линейным.
Задача 4. Докажите, что преобразование прямой проективно тогда и только тогда, когда оно дробно-
линейно.
Дробно-линейное преобразование x 7! ax + b
cx + d
не определено для точки x = d=c. Чтобы избежать
этой неприятности, добавим к прямой l точку 1 следующим образом. Выберем точку O вне прямой l
и сопоставим каждой точке A 2 l прямую OA. Тогда точке 1 соответствует прямая, проходящая через
точку O параллельно прямой l. Назовем проективной прямой множество всех прямых на плоскости,
проходящих через фиксированную точку O.
Пусть O | начало системы координат на плоскости. Тогда точке проективной прямой (т.е. прямой,
проходящей через точку O) можно сопоставить пару чисел (x; y) | координаты точки на этой прямой,
причем пары (x; y) и (x; y) считаются эквивалентными. Эту пару чисел назовем однородными коорди-
натами точки проективной прямой.
Задача 5. Докажите, что в однородных координатах проективное преобразование проективной прямой
имеет вид (x; y) 7! (ax + by; cx + dy):
Задача 6. Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно задается образами трех то-
чек.
Задача 7. Докажите, что любое проективное преобразование прямой можно представить в виде компо-
зиции проецирований прямых.
Задача 8. Докажите, что квадрат нетождественного преобразования x 7! ax + b
cx + d
тождествен тогда и
только тогда, когда a + d = 0.
Задача 9. f | дробно-линейное преобразование проективной прямой такое, что f(a) 6= a и f(f(a)) = a
для некоторой точки a. Докажите, что f(f(x)) = x для всех x.
Задача 10. В трехмерном пространстве даны прямые l 1 , l 2 , l 3 . Прямые a, b, c, d пересекают каждую из
этих трех прямых. Докажите, что двойные отношения для четверок точек, лежащих на прямых l 1 , l 2 , l 3 ,
одинаковые.
Задача 11. Назовем четверку точек fa; b; c; dg гармонической, если [a; b; c; d] = 1. Пусть f | некоторое
преобразование проективной прямой, переводящее любую гармоническую четверку точек в гармониче-
скую четверку точек. Докажите, что тогда f | проективное преобразование.
Задача 12. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, а продолжения его сторон
пересекаются в точках E и F . Прямая AC пересекает прямую EF в точке P . Докажите, что fA; C; O; Pg
| гармоническая четверка точек.
1