Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f04/rs3.ps Дата изменения: Tue Oct 5 17:08:00 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:13:29 2007 Кодировка: koi8-r

Римановы поверхности, листок 3
осень 2004
1. Пусть X | компактная риманова поверхность. Покажите, что можно
вложить X в C P n для некоторого n > 0 таким образом, чтобы на бес-
конечно удаленной гиперплоскости лежала ровно одна точка. Можно ли
вложить X в C P n так, чтобы на бесконечно удаленной гиперплоскости
точек вообще не было?
2. Пусть X | компактная риманова поверхность, и пусть дивизор D на
X обладает теми свойствами, что 0 < deg D = dim jDj. Покажите, что
X  = C P 1
. (Постарайтесь не пользоваться теоремой Римана{Роха.)
3. Пусть X  C P 2 | неособая кривая пятой степени и p; q; r 2 X | три
различные точки, лежащие на одной прямой. Найдите l(p + q + r).
4. Пусть D | дивизор на гиперэллиптической (и тем самым рода > 1)
римановой поверхности, для которого l(D) > 1 и deg D = 3. Докажите,
что линейная система jDj имеет неподвижные точки.
5. Пусть X | гиперэллиптическая риманова поверхность. Покажите,
что на X существует только один, с точностью до линейной эквива-
лентности, дивизор D, для которого deg D = 2 и dimD = 1.
6. Пусть X | компактная риманова поверхность, соответствующая нео-
собой плоской кривой степени 5.
а) Покажите, что X не является тригональной.
б) Покажите, что соответствующая X каноническая кривая не является
пересечением квадрик.
7. Пусть X | компактная риманова поверхность рода 1, и пусть p 2 X.
Покажите, что группа автоморфизмов X, сохраняющих точку p, конеч-
на. (С помощью представления эллиптических кривых в виде факторов
C по решетке нетрудно описать и все такие X, и соответствующие груп-
пы; попробуйте, однако, сделать задачу, пользуясь только тем, что было
в курсе.)
1