Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f05/calc1s3.ps Дата изменения: Wed Sep 21 12:44:34 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:13:01 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТР
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Степенная, показательная и логарифмическая
Задача 1. Докажите, что а) для монотонной функции f : R! R и всякого a 2 R пределы lim x!a 0 f(x)
и lim x!a+0 f(x) всегда существуют, б) монотонная функция f : R! R непрерывна тогда и только тогда,
когда для всякого y 2 (m; M ), где m = inf x2R f(x), M = sup x2R f(x), существует x 2 R такое, что f(x) = y,
в) функция, обратная к непрерывной монотонной, непрерывна, г) множество точек разрыва монотонной
функции f : R! R конечно или счетно.
Задача 2. Докажите, что для всякого x > 0 и всякого n 2 N существует и единственно y > 0 такое, что
y n = x.
Обозначение: y = x 1=n = n
p
x. Для рационального числа r = p=q положим x r def
= (x p ) 1=q .
Задача 3. Проверьте корректность последнего определения и проверьте для него основные свойства сте-
пени.
Задача 4. Докажите, что а) x 1=n ! 1 при n ! 1, б) x rn ! 1 при n ! 1, если r n | последовательность
рациональных чисел, стремящаяся к нулю.
Для  2 R положим x  def
= lim n!1 x rn , где r n | возрастающая последовательность рациональных чисел,
сходящаяся к .
Задача 5. а) Проверьте корректность этого определения, т.е. независимость x  от выбора последователь-
ности r n . б) Докажите, что если lim n!1 s n = , где s n | произвольная последовательность действительных
чисел, то lim n!1 x sn = x  .
Задача 6. Выведите из задач 1б и 5б, что для всякого a > 0, a 6= 1, и всякого x > 0 существует и единственно
y > 0 такое, что a y = x. Обозначение: y = log a x.
Задача 7. а) Докажите, что функция f(x) = x  непрерывна при x > 0 и при всяком  2 Q, б) и при всяком
 2 R. в) Докажите, что функция f(y) = a y непрерывна (при всяком a > 0). г) Докажите, что функция
f(x) = log a x непрерывна (при всяком a > 0).
Задача 8. Докажите равенства а) lim x!0 ln(1+x)=x = 1, б) lim x!0 (a x 1)=x = ln a, в) lim x!0 ((1+x)  1)=x =
.
Указание. Воспользуйтесь задачей 7 и равенством lim x!0 (e x 1)=x = 1 (задача 8б листка \Задачи{1").
2. Тригонометрические
В задачах этого раздела предполагается известным, что если функция f : R! R непрерывна на отрезке
[a; b], то
R b
a
f(x) dx существует.
Задача 9. Докажите, что функция f(z) =
R z
0
dt
p
1 t 2
возрастает и непрерывна при z 2 [ 1; 1]. (При z < 0 по
определению
R z
0
def
=
R 0
z
.)
Согласно задаче 1б, функция f имеет обратную, которая обозначается sin x:
R sin x
0
dt
p
1 t 2
= x. По опреде-
лению положим cos x def
=
p
1 sin 2 x, tg x = sin x= cos x.
Задача 10. Покажите, что это определение синуса совпадает с принятым в средней школе.
Указание . Рассмотрите сектор с углом x и радиусом 1. Длина дуги такого сектора равна x, а длина
перпендикуляра, опущенного на сторону сектора из противоположного конца дуги, равна sin x.
Задача 11. Докажите неравенство jsin xj  jxj  jtg xj.
Задача 12. а) Докажите, что lim x!0 sin x=x = 1. б) Вычислите lim x!0 (1 cos x)=x 2 .
1