Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f05/g_exam2.ps Дата изменения: Wed Feb 22 18:33:29 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:16:03 2007 Кодировка: koi8-r

МК НМУ. Геометрия. 1 курс 22.02.06{02.03.06
Экзамен
1. Сравнить углы, лежащие против равных сторон в гиперболиче-
ском и евклидовом треугольниках со сторонами 3, 4, 5.
2. На гиперболической плоскости отмечена точка P и выбрана пря-
мая m на расстоянии d от точки P . Вокруг точки P вращается луч l
с угловой скоростью !. Нарисовать график скорости движения точки
l \ m как функции от времени.
3. На стороне равностороннего гиперболического треугольника вы-
брана точка, и из этой точки опущены два перпендикуляра на две остав-
шиеся стороны треугольника. Как нужно выбрать точку так, чтобы
площадь образовавшегося четырехугольника была бы
(a) максимальной (b) минимальной возможной.
4. Среди всех выпуклых гиперболических n-угольников данной пло-
щади S найти многоугольник минимального периметра.
5. На гиперболической плоскости даны три точки.
(a) Как с помощью (гиперболических) циркуля и бесконечной линейки
определить, существует ли треугольник, для которого эти точки
служат серединами сторон?
(b) Если такой треугольник существует, построить его с помощью
циркуля и линейки.
(c) Если три точки заданы комплексными числами z 1 ,z 2 ,z 3 в модели
в верхней полуплоскости, как по тройке (z 1 ; z 2 ; z 3 ) узнать, суще-
ствует ли треугольник?
6. На комплексной плоскости, являющейся абсолютом модели в верх-
нем полупространстве трехмерного гиперболического пространства, от-
мечены точки 0, 1, i и 1+i
2
. Найти группу симметрий выпуклой оболочки
этих точек в трехмерном гиперболическом пространстве.