Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f05/top2.ps Дата изменения: Thu Sep 15 15:47:42 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:50:40 2007 Кодировка: koi8-r

Листок 2. Общее положение. n-связные пространства (13 сентября)
Про точки x 1 , . . . , x k в пространстве R n говорят, что они находятся в общем положении, если
любые m + 1 из этих точек не лежат в одном (m 1)-мерном аффинном подпространстве при
m 6 n.
1. Докажите, что для любого k в пространстве R n можно выбрать k точек общего положения.
2. Выберем попарно различные числа t 1 ; : : : ; t k и рассмотрим в R n точки (t i ; t 2
i
; t 3
i
; : : : ; t n
i
), где
i = 1; : : : ; k. Докажите, что эти точки являются точками общего положения.
3. Вершины двух симплексов, p-мерного и q-мерного, являются точками общего положения в n-
мерном пространстве. Каково должно быть n (при данных p и q), чтобы симплексы обязательно
не пересекались?
4. Точка A и вершины двух симплексов, p-мерного и q-мерного, являются точками общего
положения в n-мерном пространстве. Каково должно быть n (при данных p и q), чтобы любая
прямая, проходящая через точку A, не пересекала одновременно оба симплекса?
* * *
5. Докажите, что CW -комплекс X с одной вершиной, не имеющий k-мерных клеток, где 1 6
k 6 n, n-связен.
6. Докажите, что n-мерный n-связный CW -комплекс стягиваем.
В задачах 7{9 предполагается, что X | n-связный CW -комплекс, Y | m-связный CW -
комплекс (оба комплекса конечномерные).
7. Докажите, что X | (n + 1)-связный комплекс.
8. Докажите, что X ^ Y | (n + m+ 1)-связный комплекс;
9. Докажите, что X  Y | (n +m+ 2)-связный комплекс.
Для топологического пространства X можно определить его n-ю симметрическую сте-
пень SP n (X) следующим образом. На пространстве X n = X 


 X действует группа S n :
(x 1 ; : : : ; x n ) = (x (1) ; : : : ; x (n) ). Фактор пространства X n по этому действию | это и есть
SP n (X).
10. Докажите, что SP n (C P 1 )  C P n .
11. Докажите, что SP n (RP 2 )  RP 2n .
1