Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/alg1_s10.ps Дата изменения: Tue Nov 7 12:56:57 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:32:25 2007 Кодировка: koi8-r

МК НМУ. Алгебра, 1 курс, 1 семестр. 02.11.06
Инвариантные подпространства
1. Верно ли, что a) сумма; b) пересечение инвариантных подпространств инвариантны?
2. Верно ли, что Ker A и ImA всегда A-инвариантны?
3. Найдите собственные значения и собственные векторы следующих операторов:
a){d) A 2 End (R 2 ), A задан матрицей
a)

cos  sin 
sin  cos 

; b)

cosh  sinh 
sinh  cosh 

; c)

 1 0
0  2

; d)

 1 1
0  2

;
e) оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени не выше n.
4. Верно ли, что подпространство лежит в некотором собственном подпространстве тогда и только тогда,
когда все его одномерные подпространства инвариантны?
Характеристическим многочленом оператора A называется многочлен
f A (t) = det (tE A):
5. Докажите, что множество корней характеристического многочлена f A (t) совпадает с множеством
собственных значений A.
6. Докажите, что
a) у любого линейного оператора над C есть собственный вектор;
b) у любого линейного оператора над R есть одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
7. Докажите, что размерность собственного подпространства оператора A не превосходит кратности
соответствующего корня характеристического многочлена f A (t).
8. Пусть v 1 ; : : : ; v k | собственные векторы оператора A, отвечающие собственным значениям  1 ; : : : ;  k ,
причем все  i различны. Докажите, что v 1 ; : : : ; v k линейно независимы.
Оператор A называется диагонализируемым, если существует базис, состоящий из собственных векторов
оператора A.
9. Докажите, что если все корни многочлена f A (t) различны, то оператор A диагонализируем.
10. Докажите, что если характеристический многочлен оператора A 2 End (R n ) не имеет кратных корней
в C , то R n раскладывается в прямую сумму одномерных и двумерных A-инвариантных подпространств.
11. Докажите, что оператор A 2 End (V ) над C диагонализируем тогда и только тогда, когда для каждого
A-инвариантного подпространства U найдется A-инвариантное подпространство W такое, что V = U W .
12. a) Докажите, что k попарно коммутирующих операторов над C имеют собственный вектор.
b) Верно ли, что существует базис, в котором матрицы всех операторов из п. a) верхнетреугольные?