Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/g4.ps Дата изменения: Wed Oct 4 18:49:29 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:11:05 2007 Кодировка: Windows-1251

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
27 сентября 2006 г. 1-ый курс
ГЕОМЕТРИЯ
Листок ? 4
(1) В пространстве R 3 даны три плоскости P 1 ; P 2 ; P 3 , проходящие через ось
Oz и образующие углы ;  (между P 1 и P 2 , P 2 и P 3 ).
(a) При каких условиях на ;  группа, порожденная отражениями относительно
этих плоскостей, будет конечной?
(b) Если эти условия выполнены, как найти фундаментальную область
этого действия?
(2) На плоскости R 2 рассматриваются три прямые P 1 ; P 2 ; P 3 , образующие
треугольник с внутренними углами ; ; .
(a) При каких условиях на ; ; группа, порожденная отражениями
относительно P 1 ; P 2 ; P 3 , будет дискретной?
(b) При выполнении этих условий, как найти фундаментальную область
этого действия?
(3) Рассмотрим шесть прямых P 1 ; : : : ; P 6 , содержащих шесть сторон правильного
шестиугольника в R 2 , и группу G, порожденную отражениями относительно
этих прямых. Задает ли G геометрию Кокстера? Обоснуйте ответ, не
пользуясь теоремой классификацией двумерных геометрий Кокстера, а
также пользуясь ей.
(4) Пусть F  треугольний Кокстера, s 1 ; s 2 ; s 3  отражения относительно
его сторон, а G F  соответствующая группа отражений.
(a) Опишите геометрически и с помощью слов все элементы группы G F ,
оставляющие на месте фиксированную вершину треугольника F .
(b) Опишите геометрически и с помощью слов все параллельные переносы
группы G F .
Рассмотрите каждый из трех треугольников Кокстера отдельно.
(5) Нарисуйте схемы Кокстера для
(a) многоугольников Кокстера;
(b) трехмерных многогранников Кокстера.
(6) Докажите, что из каждой вершины трехмерного многогранника Кокстера
выходит ровно три ребра.
(7) Пусть (F; G F )  геометрия Кокстера (произвольной размерности). Докажите,
что
(a) если s 2 G F  отражение относительно гиперплоскости P , то gsg 1
 отражение относительно гиперплоскости gP (g 2 G F ).
(b) Любое отражение из группы G F сопряжено отражению относительно
одной из граней многогранника F .
(8)  Найдите какой-нибудь четырехмерный многогранник Кокстера, кроме
куба.
1